Признак Сапогова

Признак Сапогова — признак сходимости числового ряда, предложенный Николаем Александровичем Сапоговым.

Формулировка

Пусть $(b_n)$ есть монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{b_n}{b_{n+1}})$,

равно как и ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{b_{n+1}}{b_n}-1)$

сходится, если последовательность ограничена $(b_n)$ и расходится, если $(b_n)$ — не ограничена.

Доказательство

Рассмотрим следующее бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\gamma }_n$ с общим членом ${\gamma }_n=\frac{b_{n+1}}{b_n}⩾1$.

С одной стороны, частичное произведение равняется $\prod _{n=1}^m\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{b_1}\cdot b_{m+1}$, так что по определению данное бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится (т. е. ограничена) последовательность $(b_n)$.

С другой стороны, для сходимости этого бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right))$ с неотрицательным членом ${\delta }_n=\ln \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)⩾0$.

При этом

${\delta }_n=\ln \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)=\ln (1+\frac{b_{n+1}}{b_n}-1)\sim (\frac{b_{n+1}}{b_n}-1)=\left(\frac{b_{n+1}-b_n}{b_n}\right)\sim \left(\frac{b_{n+1}-b_n}{b_{n+1}}\right)=(1-\frac{b_n}{b_{n+1}})$

и в соответствии с признаком сравнения в предельной форме ряды $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{b_n}{b_{n+1}})$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{b_{n+1}}{b_n}-1)$, бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_{n+1}}{b_n}$ и числовая последовательность $(b_n)$ все вместе либо сходятся, либо расходятся.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга