Приятельские числа
Шаблон:Distinguish Приятельские числа — два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.
Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.
Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.
Индекс избыточности числа n — это рациональное число , в котором означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует такое, что . Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как .
Избыточность может быть также выражена как , где означает функцию делителя с , равным сумме k-ых степеней делителей n.
Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности , что равно . Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.
Вопреки схожести названий, нет прямой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.
Примеры
В таблице Шаблон:Color доказанно являются приятельскими (Шаблон:OEIS), Шаблон:Color доказанно являются отшельниками (Шаблон:OEIS), числа n, взаимно простые с (Шаблон:OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены Шаблон:Background color.
Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:
Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.
Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).
Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).
Числа-отшельники
Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, является неприводимой дробью, то число n является отшельником (Шаблон:OEIS). Для простого числа p мы имеем , и это число взаимно просто с p.
Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000Шаблон:Sfn.
Большие клубы
Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные Шаблон:Не переведено 5, то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членовШаблон:Sfn. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.
Примечания
Литература
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел