Пространство Орлича

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича.

Определение

Определение 1

Пусть $M$ — некоторая фиксированная $N$ -функция^[1], а $N$ — дополнительная^[2] к ней $N$ -функция; $G$ — множество конечной меры.

Пространством Орлича $L_{M}^{*}$ называется совокупность всех измеримых функций $u (x)$ , удовлетворяющих условию $(u, v) = \int_{G} u (x) v (x) d x < \infty$ при всех $v (x)$ , таких что $\int_{G} N [u (x)] d x < \infty$ .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: $‖ u ‖_{M} = \sup_{ρ (v, N) ⩽ 1} | \int_{G} u (x) v (x) d x |$ .

Определение 2

Пусть $M$ — некоторая фиксированная $N$ -функция.

Пространством Орлича $L_{M}^{*}$ называется множество всех измеримых функций $u (x)$ , имеющих конечную норму Люксембурга $‖ u ‖_{(M)} = \inf {k : \int_{G} M (\frac{u (x)}{k}) d x ⩽ 1} .$

Эквивалентность определений

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой $u$ выполнены неравенства $‖ u ‖_{(M)} ⩽ ‖ u ‖_{M} ⩽ 2 ‖ u ‖_{(M)} .$

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства

$L_{M}^{*}$ — банахово пространство.

$L_{M}^{*}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$ удовлетворяет $Δ_{2}$ -условию^[3].

Назовем классом Орлича $L_{M}$ множество таких измеримых функций, для которых $\int_{G} M [u (x)] d x < \infty .$ Пространство Орлича $L_{M}^{*}$ совпадает с классом Орлича $L_{M}$ тогда и только тогда, когда $M$ удовлетворяет $Δ_{2}$ -условию.

Пространством $E_{M}$ назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в $L_{M}$ . Если $M$ удовлетворяет $Δ_{2}$ -условию, $E_{M} = L_{M} = L_{M}^{*}$ . В противном случае $E_{M} ⊊ L_{M} ⊊ L_{M}^{*}$ .

$E_{M}$ сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.

$L_{M}^{*}$ является сопряженным пространством к $E_{N}$ , где $M$ и $N$ — дополнительные друг к другу $N$ -функции.

Если $M_{1} ≺ M_{2}$ ^[4], то $L_{M_{2}}^{*} \subset L_{M_{1}}^{*}$ . Верно и обратное.

Примеры

Если $M (x) = | x |^{p}, p \in (1, \infty)$ то $L_{M}^{*} = L_{p}$ .

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.

Шаблон:Rq

↑ $N$ — функцией называется функция M(u), допускающая представление $M (u) = \int_{0}^{| u |} p (t) d t$ , где $p (t)$ — положительная при $t > 0$ , непрерывная справа при $t ⩾ 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p (0) = 0, p (\infty) = \lim_{t \to \infty} p (t) = \infty$ .
↑ Взаимно дополнительными называются $N$ — функции $M (u), N (v)$ , удовлетворяющие уравнениям $M (u) = \int_{0}^{| u |} p (t) d t, N (v) = \int_{0}^{| v |} q (s) d s$ , где $p (t)$ — положительная при $t > 0$ , непрерывная справа при $t ⩾ 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p (0) = 0, p (\infty) = \lim_{t \to \infty} p (t) = \infty$ , а $q (s)$ определена при $s ⩾ 0$ равенством $q (s) = \sup_{p (t) ⩽ s} t$ .
↑ $Δ_{2}$ -условие: $\exists x_{0} \exists k > 0 \forall x > x_{0} : M (2 x) ⩽ k M (x)$
↑ $M_{1} ≺ M_{2}$ , если найдутся $x_{0}$ , $k$ такие, что $M_{1} (x) ⩽ M_{2} (x) \forall x > x_{0}$

[1] $N$ — функцией называется функция M(u), допускающая представление $M (u) = \int_{0}^{| u |} p (t) d t$ , где $p (t)$ — положительная при $t > 0$ , непрерывная справа при $t ⩾ 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p (0) = 0, p (\infty) = \lim_{t \to \infty} p (t) = \infty$ .

[2] Взаимно дополнительными называются $N$ — функции $M (u), N (v)$ , удовлетворяющие уравнениям $M (u) = \int_{0}^{| u |} p (t) d t, N (v) = \int_{0}^{| v |} q (s) d s$ , где $p (t)$ — положительная при $t > 0$ , непрерывная справа при $t ⩾ 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p (0) = 0, p (\infty) = \lim_{t \to \infty} p (t) = \infty$ , а $q (s)$ определена при $s ⩾ 0$ равенством $q (s) = \sup_{p (t) ⩽ s} t$ .

[3] $Δ_{2}$ -условие: $\exists x_{0} \exists k > 0 \forall x > x_{0} : M (2 x) ⩽ k M (x)$

[4] $M_{1} ≺ M_{2}$ , если найдутся $x_{0}$ , $k$ такие, что $M_{1} (x) ⩽ M_{2} (x) \forall x > x_{0}$

[1]

[2]

[3]

[4]

Пространство Орлича

Содержание

Определение

Определение 1

Определение 2

Эквивалентность определений

Свойства

Примеры

Примечания

Литература

Навигация

Пространство Орлича

Определение

Определение 1

Определение 2

Эквивалентность определений

Свойства

Примеры

Примечания

Литература

Навигация

Поиск