Пятискатная прямая биротонда

Пятиска́тная пряма́я бирото́нда — один из многогранников Джонсона (J₃₄, по Залгаллеру — 2М₉).

Составлена из 32 граней: 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 2 окружены пятью треугольными, остальные 10 — пятиугольной и четырьмя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены тремя пятиугольными, другие 10 — двумя пятиугольными и треугольной.

Имеет 60 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между двумя пятиугольными гранями, 50 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя треугольными.

У пятискатной прямой биротонды 30 вершин. В каждой сходятся две пятиугольных и две треугольных грани.

Пятискатную прямую биротонду можно получить из икосододекаэдра, разделив его на две половины, каждая из которых представляет собой пятискатную ротонду (J₆), и повернув одну из них на 36° вокруг её оси симметрии.

Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если пятискатная прямая биротонда имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 29,3059828a^2,$

$V=\frac{1}{6}(45+17\sqrt{5})a^3\approx 13,8355259a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld