Пятискатная ротонда

Пятиска́тная рото́нда — один из многогранников Джонсона (J₆, по Залгаллеру — М₉).

Составлена из 17 граней: 10 правильных треугольников, 6 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью треугольными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя треугольными, 1 — пятью треугольными; среди треугольных граней 5 окружены десятиугольной и двумя пятиугольными, другие 5 — тремя пятиугольными.

Имеет 35 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, остальные 25 — между пятиугольной и треугольной.

У пятискатной ротонды 20 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и треугольная грани; в других 10 — две пятиугольных и две треугольных.

Пятискатные ротонды можно получить из икосододекаэдра, разрезав его на две равные части. Вершины каждого из двух полученных многогранников — 20 из 30 вершин икосододекаэдра, рёбра — 35 из 60 рёбер икосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатных ротонд существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосододекаэдра. Центры описанных и полувписанных сфер совпадают с центрами десятиугольных граней ротонд.

Метрические характеристики

Если пятискатная ротонда имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{2}(5\sqrt{3}+(5+3\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 22,3472003a^2,$

$V=\frac{1}{12}(45+17\sqrt{5})a^3\approx 6,9177630a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a,$

высота ротонды (расстояние между десятиугольной и параллельной ей пятиугольной гранями) —

$H=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}a\approx 1,3763819a.$

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды больше высоты пятискатного купола (J₅) в ${\mathrm{\Phi }}^2=\mathrm{\Phi }+1\approx 2,618$ раз, где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld