Пятискатный купол

Пятиска́тный ку́пол — один из многогранников Джонсона (J₅, по Залгаллеру — М₆).

Составлен из 12 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов, 1 правильного пятиугольника и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью квадратными и пятью треугольными; пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена десятиугольной, пятиугольной и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 10 — между квадратной и треугольной.

У пятискатного купола 15 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и треугольная грани; в остальных 5 — пятиугольная, две квадратных и треугольная.

Пятискатный купол можно получить из ромбоикосододекаэдра, рассекши тот плоскостью на две неравные части. Вершины полученного многогранника — 15 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 25 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатного купола существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра. Центр описанной и полувписанной сфер лежит вне пятискатного купола.

Метрические характеристики

Если пятискатный купол имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(20+5\sqrt{3}+(10+\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 16,5797498a^2,$

$V=\frac{1}{6}(5+4\sqrt{5})a^3\approx 2,3240453a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a,$

высота купола (расстояние между десятиугольной и пятиугольной гранями) —

$H=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}a\approx 0,5257311a.$

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды (J₆) больше высоты пятискатного купола в ${\mathrm{\Phi }}^2=\mathrm{\Phi }+1\approx 2,618$ раз, где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld