Распределение Трейси — Видома

Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F₁, F₂ и F₄

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Шаблон:Нп5 и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы.

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановокШаблон:Sfnp, во флуктуациях потока Шаблон:Нп5 с шаговым начальным условиемШаблон:SfnШаблон:Sfn и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводовШаблон:Sfnp.

Распределение F₁ особенно интересно с точки зрения Шаблон:Нп5 Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел

$F_{\beta }(s)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(({\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\sqrt{2n})(\sqrt{2})n^{1/6}\le s)\text{,}$

где ${\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ — наибольшее собственное число случайной матрицы $n\times n$ стандартного (для компонентов матрицы $\sigma =1/\sqrt{2}$) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг $\sqrt{2n}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель $(\sqrt{2})n^{1/6}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как $n^{-1/6}$.

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей ($\beta =2$) может быть представлена как Шаблон:Нп5

$F_2(s)=\det (I-A_s)$

оператора $A_s$ на интегрируемой с квадратом функции на луче $(s,\mathrm{\infty })$ ядром в понятиях функций Эйри $\mathrm{A}\mathrm{i}$ через

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{i}(x){\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(y)-{\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(x)\mathrm{A}\mathrm{i}(y)}{x-y}.$

Также её можно представить интегралом

$F_2(s)=\exp (-\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-s)q^2(x)dx)$

через решение Шаблон:Нп5 II

$q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s{)}^3\text{,}$

где $q$, называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

$q(s)\sim \text{Ai}(s),s\to \mathrm{\infty }.$

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома $F_1$ и $F_4$ для ортогональных ($\beta =1$) и симплектических ($\beta =4$) ансамблей также выразимы через Шаблон:Нп5 $q$Шаблон:Sfn:

$F_1(s)=\exp (-\frac{1}{2}\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}q(x)dx){(F_2(s))}^{1/2}$

и

$F_4(s/\sqrt{2})=\mathrm{c}\mathrm{h}(\frac{1}{2}\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}q(x)dx){(F_2(s))}^{1/2}.$

Существует расширение этого определения на случаи $F_{\beta }$ при всех $\beta >0$Шаблон:Sfnp.

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 годуШаблон:Sfnp (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточненыШаблон:Sfn и используются для получения численного анализа Пенлеве II и распределений Трейси — Видома (для $\beta =1,2,4$) в S-PLUS. Эти распределения были табулированыШаблон:Sfn до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 годуШаблон:Sfn даны точные и быстрые алгоритмы численного определения $F_{\beta }$ и функций плотности $f_{\beta }(s)=\frac{d{F}_{\beta }}{ds}$ для $\beta =1,2,4$. По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений $F_{\beta }$.

β	Среднее	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstatШаблон:Sfnp и в пакете для MATLAB RMLab.

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределенийШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law