Расстояние Минковского

Расстояние Минковского (метрика Минковского) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве, которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов. Названа в честь немецкого математика Германа Минковского, впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка $p$ между двумя точками $x,y\in {ℝ}^n$ определяется какШаблон:Sfn

$\rho (x,y)={(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{1/p}$.

Для $p⩾1$ расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского.

Для $p<1$ расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника.

При $p=\mathrm{\infty }$ метрика обращается в расстояние ЧебышёваШаблон:Sfn.

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром $p$, равным 1 (расстояние городских кварталов) или 2 (евклидова метрика)Шаблон:Sfn.

Единичная окружность при различных значениях параметра $p$ расстояния Минковского

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализе — норма на пространствах $L^p$, которая вводится подобным образомШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга