Расстояние между прямыми

В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.

Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.

Формулы и доказательства

Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий

$y=mx+b_1$

$y=mx+b_2,$

расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром

$y=-x/m.$

Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений

$\{\begin{array}{c}y=mx+b_1\\ y=-x/m,\end{array}$

и

$\{\begin{array}{c}y=mx+b_2\\ y=-x/m,\end{array}$

чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения

$(x_1,y_1)=(\frac{-b_{1}m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1}),$

и

$(x_2,y_2)=(\frac{-b_{2}m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1}).$

Расстояние между точками

$d=\sqrt{{\left(\frac{b_{1}m-b_{2}m}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)}^2},$

которое можно сократить, как

$d=\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:

$ax+by+c_1=0$

$ax+by+c_2=0,$

где расстояние между прямыми можно записать так

$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

См. также

• Расстояние от точки до линии
• Скрещивающиеся прямые#расстояние