Сглаживающий оператор

Сглаживающий оператор (вверху) в размерности один. Внизу (красный цвет) показана исходная функция с углом (слева) и скачком (справа) и её сглаженная версия (синий цвет).

Сглаживающие операторы — процедура для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию. При этом часто используется свёртка. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции.

История

Сглаживающие операторы ввёл Курт Отто Фридрихс в статье 1944 годаШаблон:Sfn. До этой статьи сглаживающие операторы использовал Сергей Львович Соболев в 1938 годаШаблон:Sfn, которая содержит доказательство Шаблон:Не переведено 5, и ФридрихсШаблон:Sfn признал приоритет Соболева, написав: «Эти сглаживающие операторы были введены Соболевым и автором...».

Определение

Постепенное сглаживание функции.

Современное определение (с обобщёнными функциями)

Если $\phi$ является гладкой функцией на ${ℝ}^n$, n ≥ 1, удовлетворяющей следующим трём требованиям

(1) Функция имеет компактный носитель

(2) $\underset{{ℝ}^n}{\int }\phi (x)\mathrm{d}x=1$

(3) $\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\phi }_{ϵ}(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{ϵ}^{-n}\phi (x/ϵ)=\delta (x)$

где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака и предел должен пониматься в пространстве Шварца распределений, тогда $\phi$ является сглаживающим оператором. Функция $\phi$ может удовлетворять дополнительным условиямШаблон:Sfn. Например, если она удовлетворяет

(4) $\phi (x)⩾0$ для всех $x\in {ℝ}^n$, то функция называется положительным сглаживающим оператором

(5) $\phi (x)=\mu (|x|)$ для некоторой бесконечно дифференцируемой функции $\mu :{ℝ}^{+}\to ℝ$, то функция называется симметричным сглаживающим оператором.

Замечания об определении Фридрихса

Замечание 1. Когда теория распределений не была ещё широко распространена свойство (3) выше формулировалось следующим образом: свёртка функции ${\phi }_{ϵ}$ с данной функцией, принадлежащей подходящему гильбертову или банахову пространству сходится при ε → 0 к дельта-функции, это в точности то, что писал Фридрихс. Это также объясняет, почему сглаживающие операторы связаны с Шаблон:Не переведено 5.

Замечание 2. Как кратко указано в разделе «Исторические замечания», первоначально термин «сглаживающий оператор» обозначал следующий оператор свёртки:

${\mathrm{\Phi }}_{ϵ}(f)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\phi }_{ϵ}(x-y)f(y)\mathrm{d}y$,

где ${\phi }_{ϵ}(x)={ϵ}^{-n}\phi (x/ϵ)$ и $\phi$ является гладкой функцией, удовлетворяющая первым трём условиям выше и одному или более дополнительным условиям, таким как положительность и симметрия.

Пример

Рассмотрим функцию $\phi$$(x)$ от переменной из ${ℝ}^n$

$\phi (x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/(1-|x{|}^2)}/I_n& |x|<1\\ 0& |x|⩾1\end{array}$,

где константа $I_n$ обеспечивает нормализацию. Легко видеть, что эта функция является бесконечно дифференцируемой (хотя неаналитической) с обращающейся в ноль производной для Шаблон:Math. Поэтому функция $\phi$ можно взять как ядро сглаживающего оператора описаного выше. Легко видеть что $\phi$$(x)$ определяет положительный симметричный сглаживающий оператор.

Функция $\phi$$(x)$ в одномерном случае.

Свойства

Все свойства сглаживающего оператора связаны с его поведением при операции свёртки — мы перечислим те, доказательство которых можно найти в любой книге по теории распределенийШаблон:Sfn.

Свойства сглаживания

Для любого распределения $T$ следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом $ϵ$,

$T_{ϵ}=T\ast {\phi }_{ϵ}$,

где $\ast$ означает свёртку, является семейством гладких функций.

Аппроксимативная единица

Для любого распределения $T$ , следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом $ϵ$, сходится к $T$

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }{T}_{ϵ}=\underset{ϵ\to 0}{\lim }T\ast {\phi }_{ϵ}=T\in D^{\prime }({ℝ}^n)$

Носитель свёртки

Для любого распределения $T$,

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{T}_{ϵ}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T\ast {\phi }_{ϵ})\subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}T+\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{\phi }_{ϵ}$,

где $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}$ означает носитель распределения, а $+$ означает сумму Минковского.

Приложения

Основное приложение сглаживающих операторов — доказательство верности свойств негладких функций, которые верны для гладких функций:

Произведение распределений

В некоторых теориях обобщённых функций сглаживающие операторы используются для определения произведения распределений. А именно, если даны два распределения $S$ и $T$, предел произведения гладкой функции и распределения

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }{S}_{ϵ}\cdot T=\underset{ϵ\to 0}{\lim }S\cdot T_{ϵ}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}S\cdot T$

определяет (если он существует) произведение распределений в различных теориях обобщённых функций.

Теоремы «Слабый=Сильный»

Очень неформально — сглаживающие операторы используются для доказательства равенства двух различных видов расширений дифференциальных операторов — сильного расширения и Шаблон:Не переведено 5. Статья ФридрихсаШаблон:Sfn иллюстрирует эту концепцию довольно хорошо, однако большое число технических деталей, которые потребуется раскрыть, не позволяют полностью привести эту концепцию в нашем кратком описании.

Гладкие обрезающие функции

Путём свёртки характеристической функции Шаблон:Не переведено 5 $B_1=\{x:|x|<1\}$ с гладкой функцией ${\phi }_{1/2}$ (определённой как в уравнении (3) с $ϵ=1/2$), получаем функцию

${\chi }_{B_1,1/2}(x)={\chi }_{B_1}\ast {\phi }_{1/2}(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{B_1}(x-y){\phi }_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\underset{B_{1/2}}{\int }{\chi }_{B_1}(x-y){\phi }_{1/2}(y)\mathrm{d}y(\because supp({\phi }_{1/2})=B_{1/2})$,

которая является гладкой, равняется $1$ на $B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}$, с и носитель которой содержится в $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$. Это легко видеть, если принять во внимание, что при $|x|$ ≤ $1/2$ и $|y|$ ≤ $1/2$ выполняется $|x-y|$ ≤ $1$. Отсюда, для $|x|$ ≤ $1/2$,

$\underset{B_{1/2}}{\int }{\chi }_{B_1}(x-y){\phi }_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\underset{B_{1/2}}{\int }{\phi }_{1/2}(y)\mathrm{d}y=1$.

Легко понять, как это построение может быть обобщено для получения гладкой функции, равной единице в окрестности заданного компактного множества и равной нулю в любой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного $ϵ$. Такая функция называется (гладкой) обрезающей функцией — такие функции используются для вырезания особенностей данной (обобщённой) функции путём умножения. Умножение на такую функцию не меняет значения (обобщённой) функции только на заданном множестве, но меняет носитель функции.

См. также

• Свёртка
• Преобразование Вейерштрасса
• Обобщённая функция, Распределение
• Курт Отто Фридрихс
• Сергей Львович Соболев

Литература

• Шаблон:Статья. Первая статья, где были введены сглаживающие операторы.
• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка. Статья, в которой дифференцируемость решений эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными исследуется с использованием сглаживающих операторов.
• Шаблон:Книга. Подборка работ Фридрихса с биографией и комментариями Давида Исааксона, Фрица Джона, Тосио Като, Питера Лакса, Луиса Ниренберга, Вольфгага Васова, Гарольда Вейтцера.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья. Статья, в которой Сергей Соболев даёт доказательство своей Шаблон:Не переведено 5, вводит и использует интегральные операторы, которые очень похожи на сглаживающие операторы, но не называет их.