Симметрия Фока в теории атома водорода

Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории. С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора, А. Зоммерфельда ,В. Паули, Э. Шредингера, В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций. Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4), она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций. Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве. Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.

Сущность открытия

Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом. Анализ их коммутаторов, проведенный в, показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства.

Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".

Подход Фока поразил современников.Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера (УШ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции, известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций, чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций, инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве.

Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования. В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство.. При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор $ır$.

Теория Фока

При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть $\frac{Z^{2}m{e}^4}{{\hslash }^2}$, а единица длины равна радиусу Бора $a_B=\frac{{\hslash }^2}{Zm{e}^2}$, УШ для собственных функций принимает вид:

$(-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }-\frac{1}{r}){\mathrm{\Psi }}_{nlm}=-\frac{1}{2n^2}{\mathrm{\Psi }}_{nlm}$.

Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом $n{a}_B$ к единому радиусу, то есть заменить радиус вектор $𝐫$ на вектор $\frac{𝐫}{n}$. В результате УШ принимает обманчиво простую форму

$(-\mathrm{\Delta }+1){\mathrm{\Psi }}_{nlm}(𝐫)=\frac{2n}{r}{\mathrm{\Psi }}_{nlm}(𝐫),$

где используется снова обозначения $𝐫$ and $r$ для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: ${𝐩}^{\prime }=n𝐩$.

При переходе в импульсное пространство, к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье $(\hslash =1)$ :

${\mathrm{\Psi }}_{nlm}(𝐫)=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int a_{nlm}(𝐩)e^{(i𝐩𝐫)}{d}^3𝐩$.

Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам. Потенциал $\frac{1}{r}$ переходит в функцию $\frac{4\pi }{\left|{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}\right|}$, что дает интегральное (не локальное) уравнение:

$(|{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}\Vert +1)a_{nlm}(𝐩)-\frac{2n}{2{\pi }^2}\int \frac{a_{nlm}({𝐩}^{\prime })}{{\left|𝐩\mathbf{-}{𝐩}^{\prime }\right|}^2}{d}^3{𝐩}^{\prime }.$

Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.

Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция $a_{nlm}(𝐩)$ умножается на множитель $(1+{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}{)}^2$.

Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами $(\mathit{\xi },{\mathit{\xi }}_0)$ (см. рис.1)

Файл:Представление автора о задаче.png

Рис.1 Стереографическая проекция $3d$ $𝐩$-плоскости на $3d$ -сферу в 4d-пространстве

Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:

$\tan \phi =\frac{1}{\left|𝐩\right|}.$

Отсюда следуют формулы:

$\left|\mathit{\xi }\right|=\sin 2\phi =\frac{2\left|𝐩\right|}{(1+{𝐩}^{\mathrm{𝟐}})},$

$\mathit{\xi }=\frac{2𝐩}{(1+{𝐩}^{\mathrm{𝟐}})},$

${\mathit{\xi }}_0=\cos 2\phi =\frac{({𝐩}^{\mathrm{𝟐}}-1)}{({𝐩}^{\mathrm{𝟐}}+1)},$

${\mathit{\xi }}^2+{\xi }_0^2=1.$

Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.

В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:

$b_{nlm}(\mathit{\xi },{\xi }_0)=({𝐩}^{\mathrm{𝟐}}+1{)}^2{a}_{nlm}(𝐩).$

Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p) равна:

$\frac{4}{\mathbf{(}{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}\mathrm{𝟏}{\mathbf{)}}^{\mathrm{𝟐}}}(d𝐩{)}^2.$

Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен $\frac{({𝐩}^{\mathrm{𝟐}}+1)}{2}$ . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :

$d^3𝐩=\frac{1}{8}({𝐩}^{\mathrm{𝟐}}+1{)}^{3}d{S}_{\xi }$

Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:

$\frac{1}{\mathbf{(}𝐩\mathbf{-}{𝐩}^{\prime }{\mathbf{)}}^{\mathrm{𝟐}}}=\frac{2}{\mathbf{(}{𝐩}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}}\frac{1}{[\mathit{(}\mathit{\xi }\mathit{-}{\mathit{\xi }}^{\prime }{\mathit{)}}^2+({\xi }_0-\xi {\text{'}}_0{)}^2]}\frac{2}{\mathbf{(}𝐩{\text{'}}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}},$

что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:

$b_{nlm}(\mathit{\xi },{\xi }_0)-\frac{n}{2{\pi }^2}\int \frac{b_{nlm}({\mathit{\xi }}^{\prime },\xi {\text{'}}_0)}{[\mathit{(}\mathit{\xi }\mathit{-}{\mathit{\xi }}^{\prime }{\mathit{)}}^2+({\xi }_0-\xi {\text{'}}_0{)}^2]}d{S}_{{\xi }^{\prime }},$

где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом $2{\pi }^2$ равен:

$d{S}_{\xi }=\frac{d{\xi }_{1}d{\xi }_{2}d{\xi }_3}{{\xi }_0}=\frac{d{V}_{\xi }}{{\xi }_0}$

(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)

В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве, где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ. В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа $l$ и $m$. Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем $Y_{l,m}$ переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).

Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно

$b_{nlm}(\mathit{\xi },{\xi }_0)=Y_{l,m}(\theta ,\phi )G_{(n-1-l)}^{l+1}({\xi }_0)$,

где второй множитель есть полином Гегенбауэра.

Неадекватная интерпретация

Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат $x,p$, где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось $x$ есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.

В литературе встречается интерпретация результата Фока, в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.

См. также

• Метод Хартри — Фока
• Состояние Фока
• Пространство Фока
• Калибровка Фока-Швингера

Литература

• Fock, V.A. (2004) V.A. Fock-Selected Works:Quantum Mechanics and Quantum Field Theory. CRC Press.https://doi.org/10.1201/9780203643204