Скобки Лагранжа

Ско́бки Лагра́нжа — бинарная операция в гамильтоновой механике, тесно связанная с другой бинарной операцией, скобками Пуассона. Скобки Лагранжа были введены Лагранжем в 1808—1810 для математических выражений в классической механике. В отличие от скобок Пуассона, в настоящее время скобки Лагранжа практически не используются.

Определение

Пусть (Шаблон:Math) — система канонических координат в фазовом пространстве. Если каждую из них выразить как функцию двух переменных, Шаблон:Math и Шаблон:Math, то скобки Лагранжа от Шаблон:Math и Шаблон:Math определяются формулой

$[u,v{]}_{p,q}=\sum _{i=1}^n(\frac{\partial q_i}{\partial u}\frac{\partial p_i}{\partial v}-\frac{\partial p_i}{\partial u}\frac{\partial q_i}{\partial v}).$

Следует отметить, что эта формула совпадает с определением скобок Пуассона с точностью до перестановки числителей и знаменателей в операторах частных производных.

Свойства

• Скобки Лагранжа (как и скобки Пуассона) антикоммутативны, что очевидно непосредственно из определения:

$[u,v{]}_{q,p}=-[v,u{]}_{q,p}.$

• Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат Шаблон:Math. Если Шаблон:Math является другой системой канонических координат, то

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

является каноническим преобразованием, так что скобки Лагранжа являются инвариантом преобразования, в том смысле, что

$[u,v{]}_{q,p}=[u,v{]}_{Q,P}.$

Вследствие этого индексы, показывающие канонические координаты, часто опускаются.

• Если Шаблон:Math является симплектическим пространством в Шаблон:Math-мерном фазовом пространстве Шаблон:Math и Шаблон:Math образует систему координат в Шаблон:Math, то канонические координаты Шаблон:Math могут быть выражены как функции от координат Шаблон:Math и матрица скобок Лагранжа

$[u_i,u_j{]}_{p,q},1\le i,j\le 2n$

представляет компоненты Шаблон:Math, рассматриваемые как тензор в координатах Шаблон:Math. Эта матрица является обратной к матрице, образованной скобками Пуассона

$\{u_i,u_j\},1\le i,j\le 2n$

в координатах Шаблон:Math.

• Как следствие предыдущих свойств, координаты Шаблон:Math в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

$[Q_i,Q_j{]}_{p,q}=0,[P_i,P_j{]}_{p,q}=0,[Q_i,P_j{]}_{p,q}=-[P_j,Q_i{]}_{p,q}={\delta }_{ij}.$

См. также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:СтатьяШаблон:MathSciNet

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Книга