Совершенная группа

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа^[1] ― группа $G$ , такая что отображение $G \to A u t (G)$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент $g \in G$ в автоморфизм сопряжения $s_{g} : h \to g h g^{- 1}$ . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Шаблон:ЯкорьПримерами являются симметрические группы $S_{n}$ при $n \neq 2, 6$ (теорема Гёльдера); при этом группа $S_{2} = ℤ_{2}$ имеет нетривиальный центр, а у группы $S_{6}$ существует Шаблон:Нп5.

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой $G = A u t (G)$ , но которая не является совершенной, является группа диэдра $D_{4}$ ^[2].