Каинова группа

Ка́инова группа — группа, совпадающая со своим коммутантом.

Некоторые авторы используют термин «совершенная группа» (от Шаблон:Lang-en). Это создаёт путаницу с другим одноимённым понятием, которое в англоязычной литературе обычно называется «полной (complete) группой».

Определение

Группа $G$ называется каиновойШаблон:Sfn, если она удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Она совпадает со своим коммутантом: $[G,G]=G$.
• Её абелианизация тривиальна: $G^{ab}=0$.
• Любой гомоморфизм $f:G\to A$ из неё в произвольную абелеву группу $A$ тривиален: $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)=0$.
• Среди её факторгрупп абелевой является лишь тривиальная группа.

Примеры

Простейшим примером каиновой группы является знакопеременная группа $A_5$. В действительности, для любого $n\ge 5$ группа $A_n$ является каиновой. Более того, как следует непосредственно из определения, любая простая группа, не являющаяся абелевой (точнее, циклической), каинова. Наконец, любая Шаблон:Нп5 является каиновой.

Специальная линейная группа ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(ℝ)$ является каиновой. Более того, любая полупростая группа Ли является каиновойШаблон:Sfn.

Свойства

Любая нетривиальная каинова группа является неразрешимой.

Прямое произведение каиновых групп является каиновой. Любая факторгруппа каиновой группы каинова.

Согласно лемме Грюна, центр факторгруппы $G/Z(G)$ каиновой группы $G$ по её центру тривиален.

Если матричная группа является каиновой, то она унимодулярна, то есть каждый её элемент является унимодулярной матрицей. Это следует из того, что определитель $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}:{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(R)\to R^{\times }$ — гомоморфизм из полной линейной группы над произвольным коммутативным кольцом $R$ в Шаблон:Нп5 этого кольца, являющуюся абелевой.

Связная группа Ли является каиновой тогда и только тогда, когда для её алгебры Ли $𝔤$ выполняется соотношение $𝔤={𝔤}^2$Шаблон:Sfn.

Этимология

Название понятия отсылает к убийству Авеля Каином. Согласно одному из определений, группа каинова, если тривиальна её абелианизация (названа в честь Нильса Хенрика Абеля). «Абель» — другая форма имени «Авель».

Термин предложен Александром Дмитриевичем Вентцелем и Владимиром Яковлевичем ЛиномШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Статья