Список кубик классификации Ньютона

Шаблон:Основная статья Следующие таблицы — списки 78 кубик первой классификации НьютонаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Класс I. Гиперболическая гипербола

Здесь описан класс I гиперболических гипербол, $a>0.$ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn).Шаблон:Sfn

Гиперболическая гипербола

$x{y}^2+ey=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$ $a>0,$

имеет три обыкновенные асимптоты

$x=0,$ $y=\pm \sqrt{a}(x+\frac{b}{2a}),$

пересекающиеся в вершинах следующего асимптотического треугольникаШаблон:Sfn:

$(0,\frac{b}{2\sqrt{a}}),$ $(0,-\frac{b}{2\sqrt{a}}),$ $(-\frac{b}{2a},0).$

Гиперболическая гипербола пересекает три свои асимптоты на конечном расстоянии в следующих трёх точках (у Смогоржевского и Столовой опечатка: в ординате не хватает множителя $\mp \sqrt{a}$)Шаблон:Sfn, лежащих на одной прямойШаблон:Sfn:

$(0,\frac{d}{e}),(\frac{4ad\pm 2be\sqrt{a}}{b^2-4ac\mp 4ae\sqrt{a}},\mp \sqrt{a}\frac{8a^{2}d+b^3-4abc}{2a(b^2-4ac\mp 4ae\sqrt{a})}).$

Род 1. Адиаметралъная гиперболическая гипербола

Здесь представлена таблица со списком рода 1 адиаметралъных гиперболических гипербол, $e\ne 0$. Будем также полагать, что $b\ne 0$ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn.

Адиаметралъная гиперболическая гипербола (без диаметров) имеет характеристическое уравнение

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+\frac{1}{4}{e}^2=0,$ $e\ne 0,$

а также $b\ne 0,$ и пусть $x_1,x_2,x_3,x_4$ — его корниШаблон:Sfn.

Рассматривая уравнение гиперболической гиперболы как квадратное относительно $y,$ получаем:

$y=\frac{-e\pm 2\sqrt{a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+\frac{1}{4}{e}^2}}{2x}=$

$=\frac{-e\pm 2\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}}{2x},$

где действительное или мнимое значение переменной $y$ определяет знак подкоренного выражения, то есть знак левой части уравнения гиперболической гиперболыШаблон:Sfn.

Отметим следующую гиперболу и её свойстваШаблон:Sfn:

$y=-\frac{e}{2x}:$

• эта гипербола делит пополам каждую хорду адиаметралъной гиперболической гиперболы, перпендикулярную к оси абсцисс;
• эта гипербола пересекает адиаметралъную гиперболическу гиперболу в следующих точках и только в них:

$(x_1,-\frac{e}{2x_1}),(x_2,-\frac{e}{2x_2}),(x_3,-\frac{e}{2x_3}),(x_4,-\frac{e}{2x_3}).$

Существует девять разных адиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблицеШаблон:Sfn.

Адиаметралъные гиперболические гиперболы, $e\ne 0$, $b\ne 0$

№	ОписаниеШаблон:Sfn	Изображение, $e>0$
1	1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например, $0<x_1<x_2<x_3<x_4$ На графике овал находится внутри асимптотического треугольника.
2	2. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например, $x_1<x_2<0<x_3<x_4.$
3	3. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например, $x_1=x_2<0<x_3<x_4.$
4	4. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше или меньше остальных разных корней, например, $0<x_1<x_2<x_3=x_4.$ На графике точка самопересечения лежит внутри асимптотического треугольника.
5	5. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше одного и меньше другого остальных разных корней, например, $0<x_1<x_2=x_3<x_4.$ На графике изолированная точка $(x_2,-\frac{e}{2x_2})$ лежит внутри асимптотического треугольника.
6	6. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например, $x_1=x_2=x_3<x_4.$ На графике касп $(x_1,-\frac{e}{2x_1})$ лежит внутри асимптотического треугольника.
7	7. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i.$ Имеем: $y=\frac{-e\pm 2\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2)}}{2x}.$
8	8. Два корня характеристического уравнения — равные действительные, два комплексно сопряжённых, например, $x_1=x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i.$
9	9. Все корни характеристического уравнения — комплексные попарно сопряжённые, например, $x_{1,2}={\alpha }_1\pm {\beta }_{1}i,x_{3,4}={\alpha }_2\pm {\beta }_{2}i.$

Род 2. Монодиаметралъная гиперболическая гипербола

Здесь представлена таблица со списком рода 2 монодиаметралъных гиперболических гипербол, $e=0$, $b\ne 0$, $b^2\ne 4ac$ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn.

Монодиаметралъная гиперболическая гипербола имеет один диаметр

$y=0$

и характеристическое уравнение

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx=0,$ $b\ne 0,$ $b^2\ne 4ac$

и пусть $x_1,x_2,x_3,x_4$ — его корниШаблон:Sfn.

Ньютон относит к этому роду двенадцать разных монодиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблицеШаблон:Sfn.

Монодиаметралъные гиперболические гиперболы, $b\ne 0,$ $b^2\ne 4ac$

№	ОписаниеШаблон:Sfn	Изображение, $b<0$
10	1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например, $x_1=0<x_2<x_3<x_4.$ На графике овал находится внутри асимптотического треугольника.
11	2. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и $|x_1|>x_3+x_4,$ например, $x_1<x_2=0<x_3<x_4.$
12	3. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и $|x_1|<x_3+x_4,$ например, $x_1<x_2=0<x_3<x_4.$
13	4. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и $|x_1|>\mathrm{0,5}{x}_4,$ например, $x_1=x_2<x_3=0<x_4.$
14	5. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и $|x_1|<\mathrm{0,5}{x}_4,$ например, $x_1=x_2<x_3=0<x_4.$
15	6. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше третьего и меньше четвёртого, например, $x_1=0<x_2=x_3<x_4.$ На графике изолированная точка $(x_2,0)$ лежит внутри асимптотического треугольника.
16	7. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше разных остальных, например, $x_1=0<x_2<x_3=x_4.$ На графике точка самопересечения $(x_3,0)$ лежит внутри асимптотического треугольника.
17	8. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например, $x_1=0<x_2=x_3=x_4.$ На графике касп $(x_2,0)$ лежит внутри асимптотического треугольника.
18	9. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1=0>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_2$ и $\alpha$ одинаковых знаков, причём $|x_2|⩽2|\alpha |.$ Имеем: $y=\frac{\pm 2\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2)}}{2x}.$
19	10. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1=0>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_2$ и $\alpha$ одинаковых знаков, причём $|x_2|>2|\alpha |.$
20	11. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1=0>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_2$ и $\alpha$ разных знаков, причём $|x_2|<2|\alpha |$ и $x_2(x_2-4\alpha )<4{\beta }^2.$ При $|x_2|=2|\alpha |$ имеем $b=0$, то есть гиперболическая гипербола имеет род 4.
21	12. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1=0>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_2$ и $\alpha$ разных знаков, причём $|x_2|<2|\alpha |$ и $x_2(x_2-4\alpha )>4{\beta }^2.$

Род 3. Тридиаметралъная гиперболическая гипербола

Здесь представлена таблица со списком рода 3 тридиаметралъных гиперболических гипербол, $e=0$, $b^2=4ac$ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn.

Тридиаметралъная гиперболическая гипербола при $b=-2\sqrt{ac}$ имеет три диаметра

$y=0,$ $y=-3x\sqrt{a}+\sqrt{c},$ $y=3x\sqrt{a}-\sqrt{c}$

и характеристическое уравнение

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx=0,$ $b^2=4ac,$

и пусть $x_1,x_2,x_3,x_4$ — его корниШаблон:Sfn.

Это характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Пусть $x_1=r\ne 0,$ $x_{2,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_4=0.$ В этих условиях получаем следующее уравнение гиперболической гиперболыШаблон:Sfn:

$x{y}^2=a(x^3-(2\alpha +r)x^2+({\alpha }^2+{\beta }^2+2\alpha r)x-({\alpha }^2+{\beta }^2)r).$

Перепишем условие $b^2=4ac:$

$(2\alpha +r{)}^2=4({\alpha }^2+{\beta }^2+2\alpha r),$$r^2-4\alpha r-4{\beta }^2=0.$

откуда получаем следующее выражение для $r$, решая квадратное уравнениеШаблон:Sfn:

$r=2(\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}).$

Ньютон относит к этому роду два вида разных тридиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблицеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Для первого вида переменные $r$ и $a$ имеют одинаковые знаки, для второго — разныеШаблон:Sfn.

Тридиаметралъные гиперболические гиперболы, $b^2=4ac$

№	ОписаниеШаблон:Sfn	Изображение, $\alpha >0$
22	1. Например, корни характеристического уравнения — $x_1=2(\alpha +\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}),$ $x_{2,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_4=0,$ где $\alpha >0.$
23	2. Например, корни характеристического уравнения — $x_1=2(\alpha -\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}),$ $x_{2,4}=\alpha \pm \beta i,$ $x_4=0,$ где $\alpha >0.$

Род 4. Гиперболическая гипербола с асимптотами, пересекающимися в одной точке

Здесь представлена таблица со списком рода 4 гиперболических гипербол с асимптотами, пересекающимися в одной точке, $b=0$ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn). Эти кривые получаются стягиванием в точку асимптотического треугольника у адиаметралъных, монодиаметралъных и тридиаметральны гиперболических гипербол, всего девять случаевШаблон:Sfn.

Гиперболические гиперболы с асимптотами, пересекающимися в одной точке, $b=0$

№	ОписаниеШаблон:Sfn	Изображение
Адиаметралъные гиперболические гиперболы, $e\ne 0$
24	1. Получается из типа 7 рода 1. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например, $x_1>x_2,x_{3,4}=\alpha \pm \beta i.$ Имеем: $y=\frac{-e\pm 2\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)((x-\alpha {)}^2+{\beta }^2)}}{2x}.$
25	2. Получается из типа 3 (или 8) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например, $x_1=x_2<0<x_3<x_4.$
26	3. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например, $x_1<x_2<0<x_3<x_4.$ График адиаметралъной гиперболической гиперболы не проходит через точку пересечения асимптот.
27	4. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например, $x_1<x_2<0<x_3<x_4.$ График адиаметралъной гиперболической гиперболы проходит через точку пересечения асимптот.
Монодиаметралъные гиперболические гиперболы, $e=0,$ $c\ne 0$
Тридиаметралъные гиперболические гиперболы, $e=c=0$

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H