Строфоида

Строфоида тройки точек $A$, $B$ и $C$.

Строфо́ида (от Шаблон:Lang-el — поворот) — геометрическое место точек $M$ на плоскости, таких что прямая $MB$ является биссектрисой (внешней или внутренней) угла $AMC$ при данной тройке точек $A$, $B$ и $C$.

Свойства

• Пусть даны точка $O$, прямая $\ell$ и точка $P\in \ell$. Для точки $M$ плоскости обозначим через $M^{\prime }$ точку пересечения прямых $OM$ и $\ell$. Тогда геометрическое место точек $M$ для которых выполнено равенство $M{M}^{\prime }=M^{\prime }A$ является строфоидой.
• Строфоида является алгебраической кривой третьего прядка.
• В случае если точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $\ell$, строфоида вырождается в объединение прямой $\ell$ и окружности Апполония с фокусами $A$ и $C$.
• Инверсия с центром в точке $B$ преобразует строфоиду в равнобочную гиперболу, проходящую через $B$.

Вариации и обобщения

Понятие строфоиды допускает следующее обобщение. Пусть даны точка $O$ (полюс), кривая $\gamma$ и точка $P$. Для каждой точки $X\in \gamma$ рассмотрим точки $Z$ на прямой $OX$ такие, что $XZ=ZP$. Геометрическое место всех таких точек $Z$ называется строфоидой кривой $\gamma$ с полюсом $O$ относительно $P$.

Литература

• Березин В., Строфоида, Квант, 1977 год, № 2.