Таблица производных

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вычисление производной — операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

  • ddxc=0
  • ddxx=1
  • ddxcx=c

Шаблон:Вывод

  • ddxxc=cxc1,        когда xc и cxc1 определены, c0

Шаблон:Вывод

  • ddx|x|=x|x|=sgnx,x0

Шаблон:Вывод

  • ddx(1x)=ddx(x1)=x2=1x2
  • ddx(1xc)=ddx(xc)=cxc+1
  • ddxx=ddxx12=12x12=12x,x>0
  • ddxxn=ddxx1n=1nx1nn=1nxn1n

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

  • ddxcx=cxlnc,c>0

Шаблон:Вывод

  • ddxex=ex
  • ddxef(x)=f(x)ef(x)
  • ddxlnx=1x
  • ddxlogax=logaex=1xlna

Шаблон:Вывод

  • ddxlogaf(x)=ddxlnf(x)ln(a)=f(x)f(x)ln(a).
  • ddxsinx=cosx

Шаблон:Вывод

  • ddxcosx=sinx
  • ddxtgx=sec2x=1cos2x=tg2x+1
  • ddxctgx=cosec2x=1sin2x
  • ddxsecx=tgxsecx
  • ddxcosecx=ctgxcosecx
  • ddxarcsinx=11x2
  • ddxarccosx=11x2
  • ddxarctgx=11+x2
  • ddxarcctgx=11+x2
  • ddxarcsecx=1|x|x21
  • ddxarccosecx=1|x|x21

Производные гиперболических функций

ddxshx=chx
ddxchx=shx
ddxthx=sech2x=1th2x
ddxsechx=thxsechx
ddxcthx=csch2x
ddxcschx=cthxcschx
ddxarshx=1x2+1
ddxarchx=1x21
ddxarthx=11x2, при |x|<1
ddxarsechx=1x1x2
ddxarcthx=11x2, при |x|>1
ddxarcschx=1|x|1+x2

Правила дифференцирования общих функций

(cf)=cf
(f+g)=f+g
(fg)=fg
(fg)=fg+fg (частный случай формулы Лейбница)
(fg)=fgfgg2,g0
(fg)=(eglnf)=fg(fgf+glnf),f>0
(f(g(x)))=f(g(x))g(x) — Правило дифференцирования сложной функции
f=(lnf)f,f>0
(fc)=c(fc1)f

См. также