Таблица производных

Вычисление производной — операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах $f$ и $g$ — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а $c$ — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

• $\frac{d}{dx}c=0$

• $\frac{d}{dx}x=1$

• $\frac{d}{dx}cx=c$

• $\frac{d}{dx}{x}^c=c{x}^{c-1},$        когда $x^c$ и $c{x}^{c-1}$ определены, $c\ne 0$

• $\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-c}\right)=-\frac{c}{x^{c+1}}$

• $\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

• $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

• $\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

• $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

• $\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=f^{\prime }(x)e^{f(x)}$

• $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{{\log }_{a}e}{x}=\frac{1}{x\ln a}$

• $\frac{d}{dx}{\log }_{a}f(x)=\frac{d}{dx}\frac{\ln f(x)}{\ln (a)}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln (a)}.$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

• $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

• $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{tg}x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\mathrm{tg}}^{2}x+1$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{ctg}x=-{\mathrm{cosec}}^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

• $\frac{d}{dx}\sec x=\mathrm{tg}x\sec x$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{cosec}x=-\mathrm{ctg}x\mathrm{cosec}x$

• $\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arctg}x=\frac{1}{1+x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arcctg}x=-\frac{1}{1+x^2}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

• $\frac{d}{dx}\mathrm{arccosec}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Производные гиперболических функций

$\frac{d}{dx}\mathrm{sh}x=\mathrm{ch}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{ch}x=\mathrm{sh}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{th}x={\mathrm{sech}}^{2}x=1-{\mathrm{th}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\mathrm{th}x\mathrm{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{cth}x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\mathrm{cth}x\mathrm{csch}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arch}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arth}x=\frac{1}{1-x^2}$, при $|x|<1$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcth}x=\frac{1}{1-x^2}$, при $|x|>1$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

Правила дифференцирования общих функций

${\left(cf\right)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$

${\left(f+g\right)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

${\left(f-g\right)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$

${\left(fg\right)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ (частный случай формулы Лейбница)

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

$(f^g{)}^{\prime }={\left(e^{g\ln f}\right)}^{\prime }=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),f>0$

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ — Правило дифференцирования сложной функции

$f^{\prime }=(\ln f{)}^{\prime }f,f>0$

$(f^c{)}^{\prime }=c\left(f^{c-1}\right)f^{\prime }$

См. также

• Таблица первообразных