Температура Дебая

Температу́ра Деба́я — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих колебаний, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена в научный оборот в 1912 году П. Дебаем в его теории теплоёмкости (известной также как модель Дебая).

Температура Дебая определяется следующей формулой:

${\mathrm{\Theta }}_D=\frac{h{\nu }_D}{k_B},$

где $h$ — постоянная Планка, ${\nu }_D$ — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, $k_B$ — постоянная Больцмана.

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга — Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна $3Nr{k}_B$, где $N$ — количество элементарных ячеек в теле, $r$ — количество атомов в элементарной ячейке, $k_B$ — постоянная Больцмана.

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количество атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

$C_V(T)=3N{k}_B{f}_D\left(\frac{{\theta }_D}{T}\right)$,

где ${\theta }_D$ — температура Дебая, а функция

$f_D(x)=\frac{3}{x^3}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^4{e}^t}{(e^t-1{)}^2}\text{d}t$

называется функцией Дебая.

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

$C_V(T)=\frac{12{\pi }^4}{5}N{k}_B{\left(\frac{T}{{\theta }_D}\right)}^3.$

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если $q_D$ — радиус такой сферы, то ${\omega }_D=q_{D}s$, где $s$ — скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения

$\hslash {\omega }_D=k_B{\theta }_D$.

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведены в таблице:

Алюминий 394 K Кадмий 120 K Хром 460 K Медь 315 K Золото 170 K Железо 460 K Галлий 240 K

Серебро 215 K Таллий 96 K Олово (белое) 170 K Олово (серое) 260 K Вольфрам 310 K Цинк 234 K Алмаз 2230 K

Мышьяк 285 K Свинец 88 K Марганец 400 K Никель 375 K Платина 230 K Кобальт 385 K Гадолиний 152 K

Источники

• Шаблон:Из БСЭ