Теорема Бейкера — Хегнера — Старка

Шаблон:Falseredirect Теорема Бейкера — Хегнера — Старка — утверждение алгебраической теории чисел о том, какие в точности квадратичные комплексные числовые поля позволяют единственное разложение в его Шаблон:Не переведено 5. Теорема решает специальный случай гауссовой Шаблон:Не переведено 5, в которой требуется определить число мнимых квадратичных полей, которые имеют заданное фиксированное число классов.

Алгебраическое числовое поле $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ (где $d$ — целое число, не являющееся квадратом) является конечным расширением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ порядка 2, называемым квадратичным расширением. Число классов поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ — это число классов эквивалентности идеалов кольца целых чисел поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, где два идеала $I$ и $J$ эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют главные идеалы $(a)$) и $(b)$, такие что $(a)I=(b)J$. Тогда кольцо целых чисел поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ является областью главных идеалов (а следовательно, областью с единственным разложением) тогда и только тогда, когда число классов поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ равно 1. Таким образом, теорему Бейкера — Хегнера — Старка можно сформулировать так: если $d<0$, то число классов поля $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ равно 1 тогда и только тогда, когда:

$d\in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}$.

Шаблон:ЯкорьЭти числа известны как Шаблон:Не переведено 5.

При замене −1 на −4, а −2 на −8 (что не меняет поля), список может быть записан следующим образомШаблон:Sfn:

$D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$,

где $D$ интерпретируется как дискриминант (либо алгебраического поля, либо эллиптической кривой с комплексным умножением). Это более стандартный подход, так как $D$ тогда является Фундаментальный дискриминант.

История

Гипотеза была сформулирована Гауссом в параграфе 303 «Арифметических исследований». Первое доказательство дал Шаблон:Не переведено 5 в 1952 году, но оно содержало ряд технических недостатков и не было принято математиками, пока Шаблон:Не переведено 5 не дал полное строгое доказательство в 1967 году, имевшее много общего с работой ХегнераШаблон:Sfn. Хегнер «умер до того, как кто-либо действительно понял, что он сделал»Шаблон:Sfn. В других работах были даны похожие доказательства с помощью модулярных функций, но Старк концентрировался исключительно на заполнении пробелов Хегнера, окончательно достроив его в 1969 годуШаблон:Sfn.

Алан Бейкер дал полностью отличное доказательство несколько ранее (1966) работы Старка (точнее, Бейкер свёл результат к конечному числу вычислений, хотя Старк в тезисах 1963/4 уже эти вычисления провёл) и получил Филдсовскую премию за свои методы. Старк позднее указал, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы в 3 логарифмах, можно свести к 2 логарифмам, если бы результат был известен в 1949 году Гельфонду и ЛинникуШаблон:Sfn.

В работе 1969 года СтаркШаблон:Sfn также цитировал текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отметил, что если бы Вебер «заметил, что сводимость [некоторых уравнений] приводит к диофантову уравнению, задач о числе классов могла бы быть решена 60 лет назад». Брайан Бёрч заметил, что книга Вебера, и, по существу, всё поле модульных функций, выпало из рассмотрения на полстолетия: «К сожалению, в 1952 не осталось кого-либо, кто был достаточным экспертом в Алгебре Вебера, чтобы оценить достижение Хегнера»Шаблон:Sfn.

Дойринг, Зигель и Чоула дали слегка другой вариант доказательства на основе модулярных функций сразу после СтаркаШаблон:Sfn. Другие версии в этом жанре всплывали многие годы. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя Шаблон:Не переведено 5 (хотя также с использованием модулярных функций)Шаблон:Sfn. Затем в 1999 Имин Чен дал другой вариант доказательства с использованием модулярных функций (согласно наброску Зигеля)Шаблон:Sfn.

Работа Гросса и Цагира (1986)Шаблон:Sfn в комбинации с работой Гольдфельда (1976) также дают альтернативное доказательствоШаблон:Sfn.

Вещественный случай

Неизвестно, имеется ли бесконечно много $d>0$, для которых $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ имеет число классов 1. Вычислительные результаты показывают, что таких полей существует много; ведётся Шаблон:Не переведено 5.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга