Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая $n$-мерную сферу в $n$-мерное евклидово пространство для некоторой пары Шаблон:Iw имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки.

Формулировка

Для непрерывной функции $f:{𝕊}^n\to {ℝ}^n$, где ${𝕊}^n$ — сфера в $(n+1)$-мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки $a,-a\in {𝕊}^n$, что $f(a)=f(-a)$.

Вариации и обобщения

• Шаблон:Якорь Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция $g:{𝕊}^n\to {ℝ}^n$ из $n$-мерной сферы в $n$-мерное евклидово пространство в одной из точек $a\in {𝕊}^n$ обращается в нуль: $g(a)=0$. Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции $f:{𝕊}^n\to {ℝ}^n$ нечётной функции $g(x)=f(x)-f(-x)$. В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует Шаблон:Iw (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

• В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результатШаблон:Sfn: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции $n$-мерной сферы, то есть, для всякой инволюции ${*}^{}:{𝕊}^n\to {𝕊}^n$ и любой непрерывной функции $f:{𝕊}^n\to {ℝ}^n$ найдётся такая точка $a\in {𝕊}^n$, что $f(a)=f(a^{*})$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья