Теорема Дирихле о рядах Фурье

Шаблон:Другие значения термина Теорема Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Формулировка

Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2 π, пусть на интервале от -π до π функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье:

$\frac{(f(x-0)+f(x+0))}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum (a_n\cdot \cos (nx)+b_n\cdot \sin (nx))$

где a₀, a_n, b_n — коэффициенты Фурье:

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx,$

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\cos (nx)dx,$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)\sin (nx)dx,$

f(x-0) и f(x+0) — левосторонний и правосторонний пределы функции f в точке x.

Замечание

Если x — точка непрерывности функции f(x), то

$f(x-0)=f(x+0)\Rightarrow \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}=f(x).$

То есть в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению этих точек, а в точках разрыва к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами.