Теорема Крылова — Боголюбова

Шаблон:Значения Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов.

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым. (переиздано в).

Динамическая формулировка

Пусть $F$ — непрерывное отображение метрического компакта $X$ в себя. Тогда на $X$ существует хотя бы одна $F$-инвариантная мера $\mu$, которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодическойШаблон:Sfn.

Замечания

• Условие $F$-инвариантности, $F_{*}\mu =\mu$, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

  $\mathrm{\forall }A\in ℬ(X)\mu (F^{-1}(A))=\mu (A);$

при этом в случае необратимого отображения $F$ мера $F(A)$ не обязана равняться мере $A$.

• Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности $x\mapsto 2xmod1$, однако мера дуги $[0,\frac{1}{3}]$ не равна мере её образа, дуги $[0,\frac{2}{3}]$.

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера ${\mu }_0$, и рассматривается последовательность её временных средних:

${\overline{\mu }}_n=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}{F}_{*}^j({\mu }_0).$

Временные средние являются всё более и более $F$-инвариантными:

$F_{*}{\overline{\mu }}_n={\overline{\mu }}_n+\frac{1}{n}(F_{*}^n({\mu }_0)-{\mu }_0).$

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения $F$. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте $F$ компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности ${\overline{\mu }}_n$ найдётся — что и завершает доказательство. Шаблон:Ч.т.д.

Замечания

• В случае, если в качестве меры ${\mu }_0$ берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности ${\overline{\mu }}_n$ соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (P_t) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

$\mathrm{Pr}[X_t\in A|X_0=x]=P_t(x,A).$

Если существует $x\in X$, для которого семейство вероятностных мер { P_t(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (P_t) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (P_t), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

$(P_t{)}_{\ast }(\mu )=\mu ,\mathrm{\forall }t>0.$

Вариации и обобщения

• Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Литература

• Шаблон:Книга