Теорема Ньютона о сферической оболочке

Теоре́ма Нью́тона о сфери́ческой оболо́чке — два утверждения, описывающих гравитационное притяжение тонкой сферической оболочки с равномерно распределённой массой. Первая часть теоремы состоит в том, что такая сфера не придаёт ускорения телам, находящимся внутри неё. Вторая часть состоит в том, что такая сфера определённой массы притягивает внешние тела так же, как и материальная точка такой же массы, расположенная в центре сферы. Теорему доказал Исаак Ньютон.

Из этой теоремы, в частности, следует, что шары со сферически симметричным распределением массы притягиваются друг к другу так же, как и точечные тела.

Теорема

Теорема Ньютона состоит из двух утверждений, в которых рассматривается сфера произвольного радиуса $R$ с равномерно распределённой по поверхности массой $M$. Первое утверждение гласит, что внутри сферы гравитационный потенциал везде одинаков — это означает, что ускорение, которое сфера придаёт телам внутри неё, равняется нулю. Вторая часть теоремы состоит в том, что гравитационный потенциал вне сферы, создаваемый ей, совпадает с гравитационным потенциалом, который бы создавала точечная масса $M$, помещённая в центр сферы взамен её. Это эквивалентно тому, что сфера притягивает внешние тела так же, как и точечная масса $M$, размещённая в центре сферы. Обе части теоремы доказал Исаак НьютонШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Вывод

Для точки внутри сферы ускорения, создаваемые в каждой паре противоположных направлений, уравновешивают друг друга

Первую часть теоремы можно вывести следующим образом. Нужно рассмотреть точку внутри сферы и малый телесный угол $d\mathrm{\Omega }$, направленный в две противоположные стороны. Площади на поверхности сферы, а значит, и заключённые в них массы $\delta m_1$ и $\delta m_2$, которые пересекает такой телесный угол, пропорциональны квадрату расстояний от точки до соответствующих участков $r_1$ и $r_2$. Тогда $\delta m_1/r_1^2=\delta m_2/r_2^2.$ Следовательно, для каждого малого телесного угла притяжение в противоположных направлениях оказывается одинаковым, а значит, суммарное ускорение всюду внутри сферы также равняется нулю. Поскольку гравитационное ускорение равняется градиенту гравитационного потенциала, то можно равносильно утверждать, что гравитационный потенциал внутри сферы всюду одинаковШаблон:Sfn.

При выводе второй части теоремы производится интегрирование потенциала по всем поясам, подобным тому, который отмечен синим цветом

Вторую часть теоремы удобнее доказать, вычисляя гравитационный потенциал $U$ в точке $K$ вне сферы на расстоянии $r$ от её центра. Сначала можно рассмотреть пояс на сфере, который ограничен углами от $\theta$ до $\theta +d\theta$ между направлениями от центра сферы к точке на ней и направлением на точку $K$. Площадь поверхности такого слоя равняется $2\pi R^2\sin \theta d\theta$, поверхностную плотность можно обозначить как $\sigma =M/4\pi R^2$. Кроме того, его точки находятся на одном расстоянии $l$ от $K$, поскольку пояс симметричен относительно оси, соединяющей центр сферы и точку $K$. Тогда потенциал $dU$, который создаётся поясом, выражается какШаблон:Sfn:

$dU=-\frac{G\cdot \sigma \cdot 2\pi R^2\sin \theta d\theta }{l}.$

С учётом известного угла $\theta$, по теореме косинусов получается равенствоШаблон:Sfn:

$l^2=r^2+R^2-2rR\cos \theta .$

При дифференцировании обеих частей равенство получитсяШаблон:Sfn:

$\frac{R\sin \theta d\theta }{l}=\frac{dl}{r}.$

Тогда выражение для полного дифференциала потенциала записывается в видеШаблон:Sfn:

$dU=-\frac{G\cdot \sigma \cdot 2\pi R}{r}dl.$

Потенциал от всей сферы получвется в виде суммы потенциалов всех поясов. При этом потенциал пропорционален $dl$, а от самой близкой к самой далёкой от $K$ точки сферы $l$ меняется на $2R$. Таким образом, при суммировании получаетсяШаблон:Sfn:

$U=-\frac{G\cdot \sigma \cdot 4\pi R^2}{r}=-\frac{GM}{r}.$

Это значение соответствует гравитационному потенциалу точечной массы $M$, расположенной на месте центра сферической оболочки. Таким образом, тонкая сферическая оболочка с равномерным распределением массы притягивает тела так же, как точечная массаШаблон:Sfn.

Следствия

Если рассматривать шар, плотность которого зависит только от радиуса, то его можно условно разделить на множество тонких сферических оболочек с общим центром, каждая из которых удовлетворяет условию теоремы Ньютона. Таким образом, можно сделать аналогичный вывод: шар со сферически симметричным распределением массы будет притягивать так же, как и точка той же массы, расположенная на месте центра шараШаблон:Sfn. Следовательно, закон всемирного тяготения для реальных сферически симметричных тел, таких как планеты или звёзды, можно использовать так же, как и для точечных масс.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга