Теорема Пайерлса

Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.

Формулировка

Пусть $H$ есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы, $\left\{{\mathrm{\Phi }}_n\right\}$ есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы, $Q$ - статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:

$Q⩾\sum _n{e}^{-\beta ({\mathrm{\Phi }}_n,H{\mathrm{\Phi }}_n)}(1)$

Равенство имеет место в том случае, когда $\left\{{\mathrm{\Phi }}_n\right\}$ есть полная система собственных функций оператора $H$.

Доказательство

Пусть $\left\{{\mathrm{\Phi }}_n\right\}$ есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма $Q$ удовлетворяет тождеству

$Q\equiv \sum _n({\mathrm{\Phi }}_n,e^{-\beta ({\mathrm{\Phi }}_n,H{\mathrm{\Phi }}_n)})$.

Перепишем доказываемое равенство $(1)$ в виде:

$Q⩾q$,

где

$q\equiv \sum _n{e}^{-\beta ({\mathrm{\Phi }}_n,H{\mathrm{\Phi }}_n)}$

Пусть ${\mathrm{\Psi }}_n$ есть полная система ортонормированных собственных функций оператора $H$:

$H{\mathrm{\Psi }}_n=E_n{\mathrm{\Psi }}_n$.

Поскольку оператор $H$ эрмитов, собственные значения $E_n$ действительны. Существует унитарное преобразование $S_{nm}$, переводящее $\left\{{\mathrm{\Psi }}_n\right\}$ в $\left\{{\mathrm{\Phi }}_n\right\}$:

${\mathrm{\Phi }}_n=\sum _m{S}_{nm}{\mathrm{\Psi }}_m$,

где $\left\{S_{nm}\right\}$ - совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:

$\sum _l{S}_{ln}^{*}{S}_{lm}=\sum _l{S}_{nl}^{*}{S}_{ml}={\delta }_{nm}$.

Поэтому

$Q=\sum _n({\mathrm{\Phi }}_n,e^{-\beta H}{\mathrm{\Phi }}_n)=\sum _n({\mathrm{\Psi }}_n,e^{-\beta H}{\mathrm{\Psi }}_n)=\sum _n{e}^{-\beta E_n}$.

Справедливо уравнение:

$Q-q=\sum _n(\sum _l|S_{nl}{|}^2{e}^{-\beta E_l}-e^{-\beta \sum _l|S_{nl}{|}^2{E}_l})(2)$.

Для любого $n$ следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:

$\bar{E}\equiv \sum _l|S_{nl}{|}^2{E}_l$,

$\overline{f(E)}\equiv \sum _l|S_{nl}{|}^2{e}^{-\beta E_l}$.

В уравнении $(2)$ каждый член суммы имеет вид $\overline{f(E)}-f(\bar{E})$ и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма $Q-q⩾0$, что завершает доказательство теоремы.

Лемма

Пусть $\left\{x_n\right\}$ есть совокупность действительных чисел, $\left\{c_n\right\}$ есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям $c_n⩾0$ и $\sum _n{c}_n=1$, $‵f^{″}(x)⩾0$. Обозначим по определению $\overline{f(x)}\equiv \sum _n{c}_{n}f(x_n)$ для любой функции $f(x)$. Тогда выполняется неравенство:

$\overline{f(x)}⩾f(\bar{x})$.

По теореме о среднем значении:

$f(x)=f(\bar{x})+(x-\bar{x})f^{\prime }(\bar{x})+\frac{1}{2}(x-\bar{x}{)}^2{f}^{″}(x_1)$, где $x_1$ - фиксированное действительное число.

Используя условие $\sum _n{c}_n=1$ получаем:

$\overline{f(x)}=f(\bar{x})+\frac{1}{2}\overline{(x-\stackrel{‾}{x}{)}^2}{f}^{″}(x_1)$.

Второй член здесь не отрицателен, потому что $c_n⩾0$ и $f^{″}(x)⩾0$.

Лемма доказана.

Литература

• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.