Теорема Рауса

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике $ABC$ точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно, то, обозначив $\frac{CD}{BD}$$=x$, $\frac{AE}{CE}$$=y$ и $\frac{BF}{AF}$$=z$, ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами $AD$, $BE$ и $CF$ по отношению к площади треугольника $ABC$ выражается соотношением

$\frac{(xyz-1{)}^2}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}$

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, $x=y=z=2$ теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае $x=y=z=1$ медианы пересекаются в центроиде.

Доказательство

Положим площадь треугольника $ABC$ равной $1$. Для треугольника $ABD$ и линии $FRC$, используя теорему Менелая, получим:

$\frac{AF}{FB}\times \frac{BC}{CD}\times \frac{DR}{RA}=1$

Тогда $\frac{DR}{RA}=\frac{BF}{FA}\times \frac{DC}{CB}=\frac{zx}{x+1}$ Поэтому площадь треугольника $ARC$ равна

$S_{ARC}=\frac{AR}{AD}{S}_{ADC}=\frac{AR}{AD}\times \frac{DC}{BC}{S}_{ABC}=\frac{x}{zx+x+1}$

Аналогично, получаем: $S_{BPA}=\frac{y}{xy+y+1}$ и $S_{CQB}=\frac{z}{yz+z+1}$ Таким образом, площадь треугольника $PQR$ равна:

$S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}$

$=1-\frac{x}{zx+x+1}-\frac{y}{xy+y+1}-\frac{z}{yz+z+1}$

$=\frac{(xyz-1{)}^2}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}.$

Ссылки

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
• Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project.
• Шаблон:MathWorld
• Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.