Теорема Реллиха

В математическом анализе и дифференциальном исчислении теорема Реллиха — теорема о целых решениях дифференциального уравнения, доказанная в 1940 году Францем Реллихом.

Формулировка

Шаблон:Рамка Пусть в дифференциальном уравнении

$\dot{x}=f(x,t)$

правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по $x,t$ (целой функцией). Если имеется два решения $x=u(t)$ и $x=v(t)$, которые являются целыми функциями $t$, то любое другое целое решение $x=w(t)$ имеет вид

$w(t)=u(t)+(v(t)-u(t))c$

при надлежащим образом выбранной константе $c$. Если $f(x,t)$ не является линейной функцией $x$, то имеется не более чем счётное число констант $c_n$, при которых выражение

$u(t)+(v(t)-u(t))c_n$

является решением и множество $c_n$ не может иметь конечной предельной точки. Шаблон:Конец рамки

Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений $u(t)+(v(t)-u(t))c_n$ при любых заданных $u(t),v(t)$, не равных друг другу ни при каком значении $t$, и любом наборе чисел $c_n$ (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).

Следствия

Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение $x=x(t,C)$ нелинейного уравнения $\dot{x}=f(x,t)$ с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга