Теорема Таубера

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана Шаблон:Iw в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами (Теорема Абеля — Таубера).

Формулировка

Если $a_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$ при $n\to \mathrm{\infty }$, и $\underset{x\to 1-0}{lim}\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)=s$, то ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится, причём к сумме $s$.

Пояснения

Здесь равенство $f(x)=o(\phi (x))$ означает, что $\frac{f(x)}{\phi (x)}\to 0$, когда $x$ стремится к заданному пределу (см. О-нотация).

Доказательство

Достаточно доказать, что при $N=\left[\frac{1}{(1-x)}\right]$ и $x\to 1-0$ выполняется

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n-\sum _{n=0}^N{a}_n\to 0$.

то есть

$\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n-\sum _{n=0}^N{a}_n(1-x^n)\to 0$.

Обозначим:

$S_1=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$,

$S_2=\sum _{n=0}^N{a}_n(1-x^n)$.

Очевидно:

$\left|S_1\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n\frac{x^n}{n}\right|<\frac{\epsilon }{N+1}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n<\frac{\epsilon }{(N+1)(1-x)}<\epsilon$.

Вследствие того, что

$1-x^n=(1-x)(1+x+\mathrm{...}+x^{n-1})<n(1-x)$

вытекает:

$\left|S_2\right|<(1-x)\sum _{n=0}^{N}n\left|a_n\right|⩽\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N}n\left|a_n\right|$.

В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и $\left|S_2\right|<\epsilon$, при достаточно больших $N$, получаем $|S_1-S_2|<2\epsilon$. Доказательство теоремы завершено.

Лемма

Если $b_n\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то $\frac{b_0+b_1+\mathrm{...}+b_n}{n+1}\to 0$.

Всегда можно найти такие числа $K$, $ϵ$, $n_0$, что $\left|b_n\right|<K$ при всех $n$ и $\left|b_n\right|<ϵ$ при $n>n_0$.

Возьмем $n>n_0$ и $n>(n_0+1)\frac{K}{ϵ}$.

Имеем:

$\left|\frac{b_0+b_1+\mathrm{...}+b_n}{n+1}\right|⩽\left|\frac{b_0+b_1+\mathrm{...}+b_{n_0}}{n+1}\right|+\left|\frac{b_{n_0+1}+b_{n_0+2}+\mathrm{...}+b_n}{n+1}\right|⩽\frac{(n_0+1)K}{n+1}+\frac{(n-n_0)ϵ}{n+1}<2ϵ$.

Доказательство леммы завершено.

Литература

• Шаблон:Книга