Теорема Эрмита

Теорема Эрмита — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка, в которые не входит независимая переменная.

Формулировка

Если уравнение первого порядка, в которое не входит независимое переменное $z$ (то есть вида $P({\omega }^{\text{'}},\omega )=0$, алгебраическое относительно неизвестной функции и её производных, то есть $P$ - многочлен относительно $\omega$ и ${\omega }^{\text{'}}$) не имеет критических подвижных точек, то род соответствующей поверхности Римана равен или $0$ или $1$. В этом случае интеграл уравнения есть либо рациональная функция, либо рационально выражается через показательные или эллиптические функции.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменногоШаблон:Sfn. Если функция при обходе вокруг особой точки меняет своё значение, то особая точка называется критической точкойШаблон:Sfn. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой Шаблон:Sfn.

Доказательство

Доказательство теоремы Эрмита занимает $2$ страницы в книге Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга