Теорема о биссектрисе

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$

Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.

Формулировка

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине $A$ треугольника $\mathrm{△}ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$ то

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$

Замечания

• То же равенство выполняется и для точки $D$ лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны $BC$.

История

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III), в частности, на греческом языке в византийском манускрипте. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).

Доказательства

Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.

Метод площадей

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Метод площадей

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{\frac{1}{2}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }=\frac{AB}{AC}.$

С другой стороны,

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD\cdot AH}{\frac{1}{2}CD\cdot AH}=\frac{BD}{CD}.$

Значит,

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$

Через теорему синусов

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:

Доказательство теоремы о биссектрисе с помощью теоремы синусов

$\frac{AB}{\sin \gamma }=\frac{BD}{\sin \alpha },(1)$

$\frac{AC}{\sin (180^{\circ }-\gamma )}=\frac{CD}{\sin \alpha }.$

Но $\sin (180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,$ следовательно,

$\frac{AC}{\sin \gamma }=\frac{CD}{\sin \alpha }.(2)$

Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$

Через подобие треугольников

Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.

Доказательство теоремы о биссектрисе через подобие треугольников

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и TCD подобны по двум углам, значит,

$\frac{BD}{CD}=\frac{BK}{CT}.$

Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{CT}.$

Отсюда получаем, что $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$

Вариации и обобщения

• Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда

  $\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|\frac{\sin \mathrm{\angle }DAB}{\sin \mathrm{\angle }ADB}}{|AC|\frac{\sin \mathrm{\angle }DAC}{\sin \mathrm{\angle }ADC}}=\frac{|AB|\frac{\sin \mathrm{\angle }DAB}{\sin \mathrm{\angle }ADB}}{|AC|\frac{\sin \mathrm{\angle }DAC}{\sin (180^{\circ }-\mathrm{\angle }ADB))}}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }DAB}{|AC|\sin \mathrm{\angle }DAC}.$

  • В случае, когда AD — биссектриса, $\sin \mathrm{\angle }DAB=\sin \mathrm{\angle }DAC$.

• Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного углаШаблон:Rp.

• Теорема Штейнера.

См. также

• Антибиссектриса
• Биссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Центроид
• Чевиана

Литература

• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин