Теорема о рациональных корнях

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0=0$

с целыми коэффициентами $a_i$и $a_0,a_n\ne 0$.

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень $x=p/q$, где $p$ и $q$ — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что

• $p$ является делителем свободного члена $a_0$,

• $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Применение

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень $x=r$ найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на $(x-r)$ с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение в общем виде:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Доказательство

Пусть:

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0,a_0,...a_n\in Z$.

Предположим, что $P(p/q)=0$ для некоторых взаимно простых целых $p$ и $q$:

$P\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+...+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$.

Умножая обе части уравнения на $q^n$, вынося $p$ за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+...+a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n$.

Видно, что $p$ является делителем $a_0{q}^n$. Но $p$ и $q$ — взаимно простые числа, значит, $p$ также должно быть делителем $a_0$.

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести $q$ за скобки, получим:

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+...+a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n$.

Сделаем вывод о делимости $a_n$ на $q$.

Примеры

Пример 1

Каждый рациональный корень многочлена

$2x^3+x-1$

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются $\pm \frac{1}{2}$ и $\pm 1$. Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

Каждый рациональный корень многочлена

$x^3-7x+6$

должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Из них $1$, $2$ и $-3$ обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга