Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями

Шаблон:Теория струн теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями (также (N = 4)-теория Янга — Миллса) — математическая и физическая модель, созданная для изучения частиц с помощью простой системы, подобной теории струн, с конформной симметрией. Это упрощённая игрушечная теория, основанная на теории Янга — Миллса, которая не описывает реальный мир, но полезна, поскольку она может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях. Она описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля, связанные 4 суперсимметриями (это означает, что обмен бозонными, фермионными и скалярными полями определённым образом оставляет предсказания теории инвариантными). Это одна из самых простых (потому что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в четырёх измерениях. Её можно считать самой симметричной теорией поля, которая не связана с гравитацией.

Лагранжиан

Лагранжиан для теории

$L=\mathrm{tr}\{-\frac{1}{2g^2}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{{\theta }_I}{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\overline{F}}^{\mu \nu }-i\stackrel{a}{\stackrel{‾}{\lambda }}\stackrel{\mu }{\bar{\sigma }}{D}_{\mu }{\lambda }_a-D_{\mu }{X}^i{D}^{\mu }{X}^i+g{C}_i^{ab}{\lambda }_a[X^i,{\lambda }_b]+g{\bar{C}}_{iab}\stackrel{a}{\stackrel{‾}{\lambda }}[X^i,\stackrel{b}{\stackrel{‾}{\lambda }}]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j{]}^2\},$

где $F_{\mu \nu }^k={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^k-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^k+f^{klm}{A}_{\mu }^l{A}_{\nu }^m$ и индексы i, j = 1, …, 6, а также a, b = 1, …, 4. $f$ представляет структурные константы определённой калибровочной группы. $C_i^{ab}$ представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие теорем о неперенормировке, эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

Десятимерный лагранжиан

Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

$L=\mathrm{tr}\{\frac{1}{g^2}{F}_{IJ}{F}^{IJ}-i\overline{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}^I{D}_I\lambda \},$

где I и J пробегают значения от 0 до 9 и ${\mathrm{\Gamma }}^I$ являются 32 на 32 гамма-матрицами $(32=2^{10/2})$ с последующим добавлением члена с ${\theta }_I$ который является топологическим членом.

Компоненты $A_i$ калибровочного поля для i от 4 до 9 становятся скалярами после устранения лишних измерений. Это также даёт интерпретацию SO(6) R-симметрии как поворотов в сверхкомпактных измерениях.

Путём компактификации на Т⁶ все суперзаряды сохраняются, давая N = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB — это мировая теория стека D3-бран.

S-дуальность

Константы связи ${\theta }_I$ и $g$ естественно спариваются в форме:

$\tau =\frac{\theta }{2\pi }+\frac{4\pi i}{g^2}.$

Теория имеет симметрию, которая сдвигает $\tau$ по целым числам. Гипотеза S-дуальности говорит, что есть также симметрия, которая посылает :$\tau \mapsto \frac{-1}{n_G\tau }$ а также переключает группу $G$ к её двойственной группе Ленглендса .

AdS/CFT-соответствие

Эта теория важна и в контексте голографического принципа. Существует двойственность между теорией струн типа IIB в пространстве AdS₅ × S⁵ (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой) и N = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса на 4-мерной границе AdS₅. Однако эта конкретная реализация AdS/CFT-соответствия не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, AdS/CFT-соответствие является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Герардом 'т Хоофтом, которая расширяла работу по термодинамике чёрных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонардом Сасскиндом .

Интегрируемость

Существует доказательство того, что N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса имеет интегрируемую структуру в плоском пределе больших N. Поскольку количество цветов (также обозначаемое N) становится бесконечным, амплитуды масштабируются как $N^{2-2g}$, так что выживает только вклад рода 0 (планарный граф). Планарная теория Янга — Миллса — это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

Планарный предел — это предел, в котором амплитуды рассеяния преобладают на диаграммах Фейнмана, которым можно придать структуру планарных графов.

Beisert и соавт. дали обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определённые состояния в «спиновых» цепочках, но на основе больших супералгебр Ли, а не SU(2) для обычного спина. Они поддаются техникам подстановки Бете. Они также строят действие ассоциированного янгиана на амплитуды рассеяния.

Нима Аркани-Хамед и соавт. также исследовали эту тему. Используя теорию твисторов, они находят описание (формализм амплитуэдра) в терминах позитивного грассманиана.

Отношение к 11-мерной М-теории

N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса может быть получена из более простой 10-мерной теории, и всё же супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U(N) SYM становится бесконечной как $N\to \mathrm{\infty }$, она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Ссылки

• Шаблон:Статья