Течение Хеле-Шоу

Течение Хеле-Шоу определяется как течение жидкости или газа, происходящее между двумя параллельными плоскими пластинами, разделёнными узким зазором, удовлетворяющим определенным условиям. Оно названо в честь Генри Селби Хеле-Шоу, который изучал эту задачу в 1898 году. Различные проблемы механики жидкости можно аппроксимировать течениями Хеле-Шоу, поэтому исследование этих течений имеет важное значение. Аппроксимирование течением Хеле-Шоу особенно важно для микропотоков. Это связано с технологией производства, которая создает неглубокие плоские конфигурации, и обычно низкими числами Рейнольдса микропотоков.

Условия, которые должны быть выполнены, следующие:

$\frac{h}{l}\ll 1,\frac{Uh}{\nu }\frac{h}{l}\ll 1$

где $h$ — ширина зазора между пластинами, $U$ — характерный масштаб скорости, $l$ — характерный масштаб длины в направлениях, параллельных пластине и $\nu$ — кинематическая вязкость. В частности, число Рейнольдса $Re=Uh/\nu$ не всегда должно быть малым, но может быть порядка единицы или больше, если оно удовлетворяет условию $Re\cdot (h/l)\ll 1$. С точки зрения числа Рейнольдса $R{e}_l=Ul/\nu$, основанном на $l$, условие становится $R{e}_l(h/l{)}^2\ll 1.$

Основное уравнение течения Хеле-Шоу идентично уравнению невязкого потенциального течения и течения жидкости через пористую среду (закон Дарси). Таким образом, это позволяет визуализировать этот тип потока в двух измерениях.

Математическая формулировка течений Хеле-Шоу

Схематическое описание конфигурации Хеле-Шоу.

Пусть $x$, $y$ — направления, параллельными плоским пластинам, а $z$ — перпендикулярное направление, также $h$ — высота зазора между пластинами (от $z=0$ до h ) и $l$ — соответствующий характерным масштаб длины в плоскости $Oxy$. При указанных выше ограничениях несжимаемые уравнения Навье–Стокса в первом приближении принимают вид Шаблон:R

$\begin{array}{cc}\frac{\partial p}{\partial x}=\mu \frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2},\frac{\partial p}{\partial y}& =\mu \frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial z^2},\frac{\partial p}{\partial z}=0,\\ \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}& =0,\\ \end{array}$

где $\mu$ — это динамическая вязкость. Эти уравнения аналогичны уравнениям пограничного слоя, за исключением того, что в них отсутствуют нелинейные члены. В первом приближении, после наложения граничных условий непроскальзывания при $z=0,h$, имеем решение:

$\begin{array}{cc}p& =p(x,y),\\ v_x& =-\frac{1}{2\mu }\frac{\partial p}{\partial x}z(h-z),\\ v_y& =-\frac{1}{2\mu }\frac{\partial p}{\partial y}z(h-z)\end{array}$

Уравнение для $p$ получается из уравнения непрерывности. Интегрируя уравнение неразрывности по всему каналу и накладывая граничные условия непроникновения через стенки, имеем

$\underset{0}{\overset{h}{\int }}(\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y})dz=0,$

что приводит к уравнению Лапласа:

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^2}=0.$

Это уравнение дополняется соответствующими граничными условиями. Например, граничные условия непроникновения на боковых стенках становятся следующими: $\mathrm{\nabla }p\cdot 𝐧=0$, где $𝐧$ — единичный вектор, перпендикулярный боковой стенке (обратите внимание, что на боковых стенках нельзя наложить граничные условия непроскальзывания). Границы также могут быть областями, подверженными постоянному давлению, в этом случае уместно граничное условие Дирихле для $p$. Аналогично можно использовать и периодические граничные условия. Можно также отметить, что вертикальная составляющая скорости в первом приближении равна

$v_z=0$

что следует из уравнения непрерывности. В то время как величина скорости $\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ варьируется в $z$ направление, направление вектора скорости $\mathrm{arctg}(v_y/v_x)$ не зависит от направления $z$, то есть закономерности обтекания на каждом уровне схожи. Вектор завихренности $\mathit{\omega }$ имеет компоненты

${\omega }_x=\frac{1}{2\mu }\frac{\partial p}{\partial y}(h-2z),{\omega }_y=-\frac{1}{2\mu }\frac{\partial p}{\partial x}(h-2z),{\omega }_z=0.$

Поскольку ${\omega }_z=0$, модели обтекания в плоскости $Oxy$ соответствует потенциальному потоку (безвихревому потоку). В отличие от потенциального потока, здесь циркуляция $\mathrm{\Gamma }$ вокруг любого замкнутого контура $C$ (параллельно плоскости $Oxy$), независимо от того, охватывает ли она твёрдый объект или нет, равна нулю,

$\mathrm{\Gamma }={\oint }_C{v}_{x}dx+v_{y}dy=-\frac{1}{2\mu }z(h-z){\oint }_C(\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy)=0$

где последний интеграл равен нулю, потому что $p$ является однозначной функцией, а интегрирование выполняется по замкнутому контуру.

Усреднённая по глубине форма

В канале Хеле-Шоу можно определить усреднённую по глубине версию любой физической величины, скажем, $\phi$:

$⟨\phi ⟩\equiv \frac{1}{h}\underset{0}{\overset{h}{\int }}\phi dz.$

Тогда двумерный вектор скорости, усредненный по глубине $𝐮\equiv ⟨{𝐯}_{xy}⟩$, где ${𝐯}_{xy}=(v_x,v_y)$, удовлетворяет закону Дарси,

$-\frac{12\mu }{h^2}𝐮=\mathrm{\nabla }p\text{with}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0.$

Далее, $⟨\mathit{\omega }⟩=0.$

Ячейка Хеле-Шоу

Термин «ячейка Хеле-Шоу» обычно используется в случаях, когда жидкость вводится в неглубокую полость сверху или снизу, а также когда жидкость ограничена другой жидкостью или газом. Для таких течений граничные условия определяются давлениями и поверхностными натяжениями.

См. также

• Агрегация, ограниченная диффузией
• Теория смазки
• Уравнение тонкой пленки
• Сцепление Хеле-Шоу