Триакисоктаэдр

Триакисокта́эдр (от Шаблон:Lang-grc — «трижды», Шаблон:Lang-grc2 — «восемь» и Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), также называемый тригон-триоктаэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому кубу. Составлен из 24 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos \frac{1-2\sqrt{2}}{4}\approx 117,20^{\circ },$ а два других $\arccos \frac{2+\sqrt{2}}{4}\approx 31,40^{\circ }.$

Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими острыми углами по 8 граней, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триаксоктаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра октаэдра) и 24 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромбододекаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{3+8\sqrt{2}}{17})\approx 147,35^{\circ }.$

Триакисоктаэдр можно получить из октаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани октаэдра, и высотой, которая в $3\sqrt{3}+2\sqrt{6}\approx 10,10$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 8 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисоктаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакисоктаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину $\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})a\approx 1,71a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

$S=3\sqrt{7+4\sqrt{2}}{a}^2\approx 10,6729419a^2,$

$V=\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})a^3\approx 2,9142136a^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{23+16\sqrt{2}}{17}}a\approx 0,8191407a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{4}(2+\sqrt{2})a\approx 0,8535534a.$

Описать около триакисоктаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Примечательные свойства

Триакисоктаэдр изоморфен звёздчатому октаэдру; это означает, что между гранями, рёбрами и вершинами двух данных многогранников можно установить взаимно однозначное соответствие так, что соответствующие рёбра будут соединять соответствующие вершины и так далее. Другими словами, если бы «шарнирно соединённые» друг с другом грани и рёбра многогранника можно было сжимать и растягивать (но не гнуть), триакисоксаэдр удалось бы превратить в звёздчатый октаэдр — и наоборот.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld