Усечённый куб

Усечённый кубШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $\arccos (-\frac{2\sqrt{2}}{3})\approx 0,89\pi .$

Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{3})\approx 125,26^{\circ },$ как в кубооктаэдре.

Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Метрические характеристики

Если усечённый куб имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=2(6+6\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2\approx 32,4346644a^2,$

$V=\frac{1}{3}(21+14\sqrt{2})a^3\approx 13,5996633a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{7+4\sqrt{2}}a\approx 1,7788236a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})a\approx 1,7071068a.$

Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром $a$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен

$r_8=\frac{1}{2}(1+\sqrt{2})a\approx 1,2071068a.$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_8$ и равно

$r_3=\sqrt{\frac{17}{12}+\sqrt{2}}a\approx 1,6825220a.$

В координатах

Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел $(\pm 1;\pm 1;\pm (\sqrt{2}-1)).$

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Заполнение пространства

С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрации).

Примечания

Усечённый куб, совершающий полный оборот шагами по 15°

Уличная скульптура в Вюрцбурге

Ссылки

• Шаблон:Mathworld

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга