Трижды наращённый додекаэдр

Три́жды наращённый додека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₆₁, по Залгаллеру — М₁₅+3М₃).

Составлен из 24 граней: 15 правильных треугольников и 9 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 3 окружены четырьмя пятиугольными и треугольной, остальные 6 — тремя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена пятиугольной и двумя треугольными.

Имеет 45 рёбер одинаковой длины. 15 рёбер располагаются между двумя пятиугольными гранями, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, остальные 15 — между двумя треугольными.

У трижды наращённого додекаэдра 23 вершины. В 5 вершинах сходятся три пятиугольных грани; в 15 вершинах сходятся две пятиугольных и две треугольных грани; в 3 вершинах сходятся пять треугольных граней.

Трижды наращённый додекаэдр можно получить из четырёх многогранников — додекаэдра и трёх пятиугольных пирамид (J₂), — приложив основания пирамид к любым трём попарно не смежным граням додекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды наращённый додекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{3}{4}(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 21,9794871a^2,$

$V=\frac{5}{8}(7+3\sqrt{5})a^3\approx 8,5676275a^3.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld