Трижды отсечённый икосаэдр

Три́жды отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₆₃, по Залгаллеру — М₇).

Составлен из 8 граней: 5 правильных треугольников и 3 правильных пятиугольников. Каждая пятиугольная грань окружена двумя пятиугольными и тремя треугольными; среди треугольных 1 грань окружена тремя пятиугольными, 1 грань — тремя треугольными, остальные 3 — двумя пятиугольными и треугольной.

Имеет 15 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя пятиугольными гранями, 3 ребра — между двумя треугольными, остальные 9 — между треугольной и пятиугольной.

У трижды отсечённого икосаэдра 9 вершин. В 6 вершинах (расположенных как вершины правильной усечённой треугольной пирамиды) сходятся две пятиугольных грани и одна треугольная; в остальных 3 (расположенных как вершины правильного треугольника) — одна пятиугольная и три треугольных.

Трижды отсечённый икосаэдр можно получить из икосаэдра, отсекши от того три правильных пятиугольных пирамиды (J₂). Вершины полученного многогранника — 9 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 15 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у трижды отсечённого икосаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Трижды отсечённый икосаэдр является вершинной фигурой курносого двадцатичетырёхъячейника.

Метрические характеристики

Если трижды отсечённый икосаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 7,3264957a^2,$

$V=\frac{1}{24}(15+7\sqrt{5})a^3\approx 1,2771865a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx 0,9510565a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})a\approx 0,8090170a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld