Ундулоид

Ундулоид.

Ундулоид — пример поверхности с постоянной средней кривизной. Является поверхностью вращения траектории фокуса эллипса при катании его по прямой.

История

В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные катанием коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.

Параметризация

Пусть $\mathrm{sn}(u,k)$ обозначает нормальную функцию синуса Якоби, а $\mathrm{dn}(u,k)$ — нормальная эллиптическая функция Якоби. Далее, пусть $\mathrm{F}(z,k)$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и $\mathrm{E}(z,k)$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a — длина большой оси эллипса, а e — эксцентриситет эллипса. Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.

Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями

$x(u)=-a\cdot (1-e)\cdot (\mathrm{F}(\mathrm{sn}(u,k),k)+\mathrm{F}(1,k))-a\cdot (1+e)\cdot (\mathrm{E}(\mathrm{sn}(u,k),k)+\mathrm{E}(1,k))$

$y(u)=a\cdot (1+e)\cdot \mathrm{dn}(u,k)$

А значит её поверхность вращения может быть параметризована следующим образом:

$(x(u),y(u)\cdot \cos v,y(u)\cdot \sin v)$

Возникновение в материаловедении

Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе.

Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году. При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм) горизонтально установленную жестко вытянутую (не закаленную) серебряную проволоку приводит к образованию ундулоидов по ее длине. Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.

Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях. Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.

Ссылки

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ+