Упругое рассеяние

Упру́гое рассе́яние — процесс взаимодействия (рассеяния) частиц, при котором их внутренние состояния остаются неизменными, а меняются лишь импульсы. Все другие варианты рассеяния частиц являются неупругими (например, если в ходе взаимодействия меняется число частиц или внутреннее состояние хотя бы одной из частиц). Кинетическая энергия и импульс частицы не считаются её внутренним состоянием.

В нерелятивистском классическом случае при рассеянии частицы с массой Шаблон:Math на частице с массой Шаблон:Math в системе отсчёта, в которой вторая частица до столкновения покоилась, из законов сохранения энергии и импульса следует:

$m_1{v}_1^2=m_1{v}_1{\text{'}}^2+m_2{v}_2{\text{'}}^2,$

$m_1{v_1}^{\prime }\sin \alpha =m_2{v_2}^{\prime }\sin \beta ,$

$m_1{v}_1=m_1{v_1}^{\prime }\cos \alpha +m_2{v_2}^{\prime }\cos \beta ,$

где ${v_1}^{\prime },{v_2}^{\prime }$ — скорости частиц после столкновения,

$\alpha ,\beta$ — углы, под которыми направлены скорости соответственно частиц 1 и 2 после столкновения по отношению к направлению движения частицы 1 до столкновения.

Угол $\alpha$ называется углом рассеяния. Величины допустимых углов рассеяния определяются неравенством $\sin \alpha \le m_2/m_1.$

В квантовой нерелятивистской теории упругое рассеяние бесспиновых частиц на бесконечности (т.е. при расстоянии между сталкивающимися частицами $r\to \mathrm{\infty }$) можно описать решением уравнения Шрёдингера:

$\psi (𝐫{)}_{r\to \mathrm{\infty }}\sim e^{i𝐤𝐫}+f(\vartheta )r^{-1}{e}^{i𝐤𝐫},$

где $𝐤=𝐩/\hslash$ — волновой вектор частицы,

$𝐩$ — импульс частицы в системе центра масс,

$\vartheta$ — угол рассеяния,

$f(\vartheta )$ — амплитуда рассеяния, которая зависит от угла рассеяния и энергии частиц.

В этом выражении первый член описывает падающие частицы, второй — рассеянные частицы.

Квадрат модуля амплитуды рассеяния в данный угол в системе центра масс равен дифференциальному сечению рассеяния — отношению числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла $d\mathrm{\Omega },$ к плотности потока частиц:

$|f(\vartheta ){|}^2=\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}.$

Амплитуду рассеяния можно разложить в ряд по парциальным волнам, имеющим физический смысл состояний с определённым орбитальным моментом Шаблон:Math:

$f(\vartheta )=\frac{1}{2ik}\sum _{L=0}^{\mathrm{\infty }}(2L+1)(S_L-1)P_L(\cos \vartheta ),$

где $P_L(\cos (\theta ))$ — многочлены Лежандра,

$S_L=e^{2i{\delta }_L}$ — элементы матрицы рассеяния — комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия.

Для упругого рассеяния $S_L=e^{2i{\delta }_L},$ где ${\delta }_L$ — фаза рассеяния данной парциальной волны.

В случае упругого рассеяния число падающих частиц с данным орбитальным моментом Шаблон:Math равно числу рассеянных частиц с тем же моментом, и $|S_L|=1.$

Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент Шаблон:Math-матрицы и фазу рассеяния как

$f_L=\frac{S_L-1}{2ik}=\frac{e^{2i{\delta }_L}-1}{2ik}=\frac{e^{i{\delta }_L}\sin {\delta }_L}{k}=\frac{1}{k\mathrm{ctg}{\delta }_L-ik}.$

Полное сечение упругого рассеяния ${\sigma }^{\text{el}}$ равно сумме парциальных сечений со всеми возможными орбитальными моментами:

${\sigma }^{\text{el}}=\sum _{L=0}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_L^{\text{el}},$

${\sigma }_L^{\text{el}}=\pi \lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}{}^2(2L+1)|S_L-1{|}^2,$

где $\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}=1/k$ — де-бройлевская длина волны частицы.

Максимальное парциальное сечение (резонанс в упругом рассеянии) достигается при $S_L=-1;$ оно равно

${\left({\sigma }_L^{\text{el}}\right)}_{\text{max}}=4\pi \lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}}{}^2(2L+1),$

причём фаза рассеяния ${\delta }_L=\pi /2.$ Следовательно, для резонансных условий сечение упругого рассеяния определяется де-бройлевской длиной волны и, если частица имеет малый импульс (соответственно большую длину волны $\lambda {}^{{}^{\underset{\_}{}}},$ значительно превосходящую классический радиус $R_0$ рассеивающей частицы), наблюдаемое сечение может значительно превосходить классическое сечение рассеяния $\pi R_0^2.$

Примеры упругого рассеяния

• Рэлеевское рассеяние — рассеяние света на объектах, размеры которых меньше его длины волны.
• Томсоновское рассеяние — рассеяние фотонов на электронах (или других заряженных частицах) в частном случае, когда энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с массой рассеивающей частицы.
• Комптоновское рассеяние (комптон-эффект) — общий случай рассеяния фотонов на электронах (или других заряженных частицах); при стремлении энергии фотонов к нулю переходит в томсоновское рассеяние.
• Обратное комптоновское рассеяние — рассеяние электронов (или других заряженных частиц) на фотонах.
• Резерфордовское рассеяние (кулоновское рассеяние) — нерелятивистское рассеяние тяжёлых заряженных частиц (в частности, альфа-частиц) на ядрах атомов.

См. также

• Неупругое рассеяние
• Упругое столкновение

Источники

• Шаблон:ФЭС
• Шаблон:Книга
• Шаблон:ФЭ