Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения $𝐕$ и угловой скоростью вращательного движения $\mathrm{\Omega }$.

В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет видШаблон:Sfn:

$m\frac{d{𝐯}_0}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial 𝐫},$

в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»)Шаблон:Sfn:

$m\frac{d𝐯}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial 𝐫}-m\frac{d𝐕}{dt}+m[𝐫\frac{d\mathrm{\Omega }}{dt}]+2m[𝐯\mathrm{\Omega }]+m[\mathrm{\Omega }[𝐫\mathrm{\Omega }]],$ (1)

где:

• жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
• индекс ${}_0$ относится к величинам в ИСО;
• $t$ — время;
• $m$ — масса точки;
• $𝐯$ — вектор скорости точки;
• $𝐫$ — радиус-вектор точки;
• $U$ — потенциальная энергия.

Вывод формулы

Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движенийШаблон:Sfn. Потому переход от ИСО К₀ к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К₀ к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К₀ со скоростью $𝐕$, а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }$.

Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.

Лагранжиан в К',

$L^{\prime }=\frac{m𝐯{\text{'}}^2}{2}+m{𝐯}^{\prime }𝐕+\frac{m{𝐕}^2}{2}-U,$ (2)

получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы ${𝐯}_0={𝐯}^{\prime }+𝐕$ в лагранжиан, записанный в ИСОШаблон:Sfn:

$L_0=\frac{m{𝐯}_0^2}{2}-U.$

Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.

Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) ${𝐕}^2$ является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку ${𝐯}^{\prime }=\frac{d{𝐫}^{\prime }}{dt}$,

$m{𝐯}^{\prime }𝐕=m𝐕\frac{d{𝐫}^{\prime }}{dt}=\frac{d}{dt}(m𝐕{𝐫}^{\prime })-m\frac{d𝐕}{dt}{𝐫}^{\prime },$

где полная производная $m𝐕{𝐫}^{\prime }$ по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в

$L^{\prime }=\frac{m𝐯{\text{'}}^2}{2}-m\frac{d𝐕}{dt}{𝐫}^{\prime }-U.$ (3)

При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на $[\mathrm{\Omega }𝐫]$. При подстановке ${𝐯}^{\prime }=𝐯+[\mathrm{\Omega }𝐫]$ в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что $𝐫={𝐫}^{\prime }$):

$L=\frac{m{𝐯}^2}{2}+m𝐯[\mathrm{\Omega }𝐫]+\frac{m}{2}[\mathrm{\Omega }𝐫{]}^2-m\frac{d𝐕}{dt}𝐫-U.$

Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:

$dL=m𝐯d𝐯+md𝐯[\mathrm{\Omega }𝐫]+m𝐯[\mathrm{\Omega }d𝐫]+m[\mathrm{\Omega }𝐫][\mathrm{\Omega }d𝐫]-m\frac{d𝐕}{dt}d𝐫-\frac{\partial U}{\partial 𝐫}d𝐫$.

Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:

$dL=m𝐯d𝐯+md𝐯[\mathrm{\Omega }𝐫]+md𝐫[𝐯\mathrm{\Omega }]+m[[\mathrm{\Omega }𝐫]\mathrm{\Omega }]d𝐫-m\frac{d𝐕}{dt}d𝐫-\frac{\partial U}{\partial 𝐫}d𝐫.$

Частные производные лагранжиана по $𝐯$ и $𝐫$ соответственно будут:

$\frac{\partial L}{\partial 𝐯}=m𝐯+m[\mathrm{\Omega }𝐫],$

$\frac{\partial L}{\partial 𝐫}=m[𝐯\mathrm{\Omega }]+m[[\mathrm{\Omega }𝐫]\mathrm{\Omega }]-m\frac{d𝐕}{dt}-\frac{\partial U}{\partial 𝐫}.$

После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial 𝐯}=\frac{\partial L}{\partial 𝐫},$

получается формула (1).

Физический смысл

Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.

При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.

Выражение $m\frac{d𝐯}{dt}$ — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1).

Частная производная потенциальной энергии $U$ частицы во внешнем поле по радиусу—вектору $𝐫$ «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников,

$-\frac{\partial U}{\partial 𝐫}$.

Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид

$m\frac{d𝐕}{dt}$,

где $\frac{d𝐕}{dt}$ — ускорение поступательного движения системы отсчёта $K^{\prime }$.

«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.

Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта:

$m[𝐫\frac{d\mathrm{\Omega }}{dt}]$.

Вторая часть

$2m[𝐯\mathrm{\Omega }]$

является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы.

Третья часть представлена переносной центробежной силой

$m[\mathrm{\Omega }[𝐫\mathrm{\Omega }]]$.

Она лежит в плоскости, проходящей через $𝐫$ и $\mathrm{\Omega }$, и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению $\mathrm{\Omega }$), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна $m\rho {\mathrm{\Omega }}^2$, где $\rho$ — расстояние от частицы до оси вращения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга