Уравнение ренормгруппы

Уравнение ренормгруппы (уравнение Каллана — Симанчика, уравнение Овсянникова — Каллана — Симанчика) — дифференциальное уравнение для корреляционных функций (пропагаторов), показывающее их независимость от масштаба рассмотрения. Оно имеет место, например, при рассмотрении динамики системы вблизи критической точки.

Вид уравнения

Уравнение имеет вид:

$({𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}+{\gamma }_W(g))W=0$

${𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}=\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta (g)\frac{\partial }{\partial g}-\sum _i{\gamma }_i(g)e_i\frac{\partial }{\partial e_i}$

где

• $W$ — корреляционная функция,
• $g$ — заряд (константа связи),
• $\mu$ — вспомогательный размерный параметр, называемый ренормировочной массой,
• $e_i$ — прочие параметры, характеризующие отклонение от критической точки,
• ${𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}$ для всех одинаков,
• коэффициент при $\frac{\partial }{\partial g}$ — $\beta$-функция, $\beta (g)=\mu \frac{\partial g}{\partial \mu }$,
• ${\gamma }_i$ — аномальные размерности,
• ${\gamma }_W$ — аномальная размерность функции $W$.

В общем случае уравнение может быть расширено на любые ренорминвариантные величины — те величины, которые зависят только от затравочных параметров $e_i$. Такими величинами, например, являются функции Грина и различные функционалы над ней (производящий функционал связных функций Грина $W$, производящий функционал 1-неприводимых функций Грина $\mathrm{\Gamma }$).

Соотношения, связывающие ренормированные и неренормированные производящие функционалы:

• полных функций Грина $G_R(A)=G(Z_{\phi }^{-1}A)$, где $G(A)=⟨\exp (A\phi ){⟩}_{\phi }$;
• связных функций Грина $W_R(A)=W(Z_{\phi }^{-1}A)$, где $W=\ln (G(A))$.
• 1-неприводимых функций Грина ${\mathrm{\Gamma }}_R(\alpha )=\mathrm{\Gamma }(Z_{\phi }\alpha )$, где $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=W(A(\alpha ))-A\cdot \alpha ,\alpha =\frac{\delta W}{\delta A}$.

Тогда уравнение запишется в виде:

• Для ренормированной связной функции $W_R(A)$:

  $({𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}+{\gamma }_{\phi }{𝒟}_A)W_R(A;e,\mu )=0$, где ${𝒟}_A=\int dxA(x)\frac{\delta }{\delta A(x)}$,

• Для ренормированной 1-неприводимой функции ${\mathrm{\Gamma }}_R(\alpha )$:

  $({𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}-{\gamma }_{\phi }{𝒟}_A){\mathrm{\Gamma }}_R(\alpha ;e,\mu )=0$, где ${𝒟}_A=\int dx\alpha (x)\frac{\delta }{\delta \alpha (x)}$

В обоих уравнениях ${\gamma }_{\phi }={𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}\ln (Z_{\phi })$. Коэффициенты при производных в операторе ${𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}$ и величину ${\gamma }_{\phi }$ называют РГ-функциями.

Физический смысл

При рассмотрении систем многих частиц, например, в квантовой теории поля или в теории критического поведения и стохастической динамике, часто оказывается, что функциональный интеграл, описывающий усреднение некоторой величины по различным конфигурациям системы, расходится. Тем не менее, оказывается возможным получить различную информацию о системе при помощи различных методов регуляризации и ренормировки. Одним из широко распространенных методов является мультипликативная ренормировка. Суть этого метода в том, что функции Грина являются обобщенно-однородными функциями параметров модели. Уже из этого свойства функций Грина можно многое сказать об их поведении вблизи критических точек, например, о критических показателях, если речь идет о критическом поведении систем многих частиц, или о том, как изменяется константа связи модели при изменении энергии взаимодействия частиц, если речь идет о квантовой электродинамике. При этом, уравнение ренормгруппы позволяет перейти от прямого анализа функций Грина модели непосредственно к анализу параметров и наблюдаемых величин.

Вывод уравнения

Вывод уравнения ренормгруппы основан на свойстве обобщенной однородности и гипотезе подобия.

Обозначим через ${\varphi }_0$ и $\varphi$ затравочное и перенормированное поля соответственно. Тогда парный коррелятор неперенормированных полей задается как $W_0=⟨{\varphi }_0(x_1){\varphi }_0(x_2)⟩$, а перенормированных: $W=⟨\varphi (x_1)\varphi (x_2)⟩$. Согласно определению обобщенно-однородной (лямбда-однородной) функции $Z^{n/2}W(x_1,x_2,\mu ,g(\mu ),\{e_i(\mu )\})=W_0(x_1,x_2),\{e_i(\mu )\}-$ набор наблюдаемых параметров системы. Теперь изменим немного параметры системы, но оставим неизменными импульс обрезания и затравочные константы. Очевидно, что при этом неперенормированные функции Грина не изменятся, так как они зависят только от импульса обрезания и затравочных констант. Поэтому полная производная по параметру \mu от обеих частей равна 0. Координаты частиц явно не зависят от масштаба $\mu$. Следовательно, имеем:

$({𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}+{\gamma }_W(g))W=0,{𝒟}_{P\mathrm{\Gamma }}=\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta (g)\frac{\partial }{\partial g}-\sum _i{\gamma }_i(g)e_i\frac{\partial }{\partial e_i}$

Примечание

В некоторых источниках под уравнением ренормгруппы понимается не вышеописанное уравнение, а одно из его следствий:

$\frac{\partial g}{\partial \ln (\mu )}=\psi (g)=\beta (g)$.

И та, и другая форма уравнения ренормгруппы имеет как свои плюсы, так и минусы. К плюсам этой формы записи относится явный вид зависимости константы связи от масштаба энергии, к минусам — не очевидно, как выглядят аномальные размерности модели. Тем не менее, этот вид уравнения сыграл значительную роль в становлении квантовой электродинамики и теоретическом обосновании сильного взаимодействия.

См. также

• Ренормгруппа

Литература

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.