Фильтр Бесселя

Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболееШаблон:Нет АИ распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Фильтры Бесселя чаще всего используют для аудио-кроссоверов. Их групповая задержка практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.

Передаточная функция

График амплитудно-частотной характеристики и групповой задержки для фильтра низких частот Бесселя четвёртого порядка. Спад амплитудно-частотной характеристики значительно менее крутой, чем у других линейных фильтров, однако групповая задержка практически не меняется от частотам в полосе пропускания.

Передаточная функция фильтра Бесселя низких частот определяется следующим выражением:

$H(s)=\frac{{\theta }_n(0)}{{\theta }_n(s/{\omega }_0)},$

где ${\theta }_n(s)$ — многочлен Бесселя, из-за чего фильтр и получил своё название;

${\omega }_0$ — частота среза.

Пример

Дана передаточная функция низкочастотного фильтра Бесселя третьего порядка

$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}$

с амплитудно-частотной характеристикой

$G(\omega )=|H(j\omega )|=\frac{15}{\sqrt{{\omega }^6+6{\omega }^4+45{\omega }^2+225}}$

и фазо-частотной характеристикой

$\varphi (\omega )=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(H(j\omega ))=-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{15\omega -{\omega }^3}{15-6{\omega }^2}\right)$

Групповая задержка такого фильтра:

$D(\omega )=-\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{6{\omega }^4+45{\omega }^2+225}{{\omega }^6+6{\omega }^4+45{\omega }^2+225}$

Разложение групповой задержки в ряд Тейлора по степеням частоты:

$D(\omega )=1-\frac{{\omega }^6}{225}+\frac{{\omega }^8}{1125}+\cdots$

Из последнего выражения видно, что коэффициенты перед степенями ${\omega }^2$ и ${\omega }^4$ равны нулю, а перед более высокими степенями весьма малы, вследствие чего групповая задежка близка к единице на низких частотах.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка:

Фильтра Бесселя нет на рисунке, но он имеет наименьшую крутизну характеристики (ещё более пологую, чем фильтр Баттерворта), в то же время он не имеет пульсаций АЧХ ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

См. также

• Цифровая обработка изображений
• Решётчатый фильтр
• КИХ-фильтр
• БИХ-фильтр
• Фильтр Баттерворта

Ссылки

• Фильтры нижних частот
• Фильтр Бесселя в обработке аудио
• Фильтр Бесселя в теории управления
• Классификация фильтров