Форма Бовиля — Богомолова

Форма Бови́ля — Богомо́лова (также Бови́ля — Богомо́лова — Фуджи́ки) — квадратичная форма, существующая на вторых когомологиях $H^2(X,ℂ)$ компактного гиперкэлерова многообразия. Названа в честь Арно Бовиля и Фёдора Богомолова.

Определение

Пусть $\sigma$ — образующая в $H^{2,0}(X,ℂ)$, выбранная так, чтобы ${\int }_X(\sigma \bar{\sigma }{)}^n=1$ (то есть симплектическая форма). Тогда всякая 2-форма допускает разложение на ходжевы компоненты: $\alpha =\lambda \sigma +\mu \bar{\sigma }+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)$. Определим квадратичную форму следующей формулой:

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2{\int }_X{\beta }^2(\sigma \bar{\sigma }{)}^{n-1}$

Свойства формы Бовиля — Богомолова

1. Пусть $𝔛\to B$ — универсальная локальная деформация $X$ (её база $B$ будет шаром). Тогда для $t\in B$, достаточно близких к $0$, $q({\sigma }_t)=0$, $q({\sigma }_t,\overline{{\sigma }_t})>0$ (в последней формуле $q$ обозначает симметричную билинейную форму, построенную по выше определённой квадратичной форме).
2. Отображение, ставящее точке $t\in B$ точку, соответствующую форме ${\sigma }_t$ в проективизации вторых когомологий $\mathbb{P}(H^2(X,ℂ))$, является, более того, локальным изоморфизмом с множеством нулей формы $q$ (локальная теорема Торелли).
3. $q{|}_{H^2(X,ℝ)}$ — невырожденная форма сигнатуры $(3,b_2(X)-3)$, где $b_2$ — второе число Бетти.
4. Соотношение Фуджики: если $\alpha \in H^2(X,ℝ);{q(\alpha )}^n=c{\int }_X{\alpha }^{2n}$, где $c$ — некоторая константа, не зависящая от комплексной структуры на $X$ (а только от его топологии).

Ссылки

• Global Torelli theorem for hyperkaehler manifolds, Misha Verbitsky