Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана — определённая 1-форма на группе Ли Шаблон:Math со значениями в её алгебре Ли, несущую основную инфинитезимальную информацию о структуре этой группы. Широко использовалась Эли Картаном как основная составляющая его метода подвижных реперов. Помимо имени Картана носит имя Шаблон:Iw.

Построение

Алгебра Ли отождествляется с касательным пространством группы Ли Шаблон:Math в единице и обозначается Шаблон:Math. Форма Маурера — Картана Шаблон:Math — глобально определённая на Шаблон:Math 1-форма, представляющая собой линейное отображение касательного пространств Шаблон:Math для каждого Шаблон:Math в Шаблон:Math. Она задаётся как перенос вектора Шаблон:Math под действием левого сдвига на группе:

$\omega (v)=(L_{g^{-1}}{)}_{*}v,v\in T_{g}G.$

Внутренняя конструкция

Если Шаблон:Math вложена в Шаблон:Math с помощью матричнозначного отображения Шаблон:Math, то форму Шаблон:Math можно записать явно как

${\omega }_g=g^{-1}dg.$

В этом смысле форма Маурера — Картана — всегда левая логарифмическая производная отображения Шаблон:Math.

Литература

• Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
• Картан Э. Ж. Геометрия римановых пространств. -M.-Л: изд-во НКТП СССР, [1928]1936
• Картан Э. Ж. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщённые пространства. -M.-Л.: Гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, [1930]1933
• Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. -М.: изд-во МГУ, [1930]1963
• Картан Э. Ж. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927,1945]1962
• Картан Э. Ж. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М.: изд-во ИЛ, 1949