Формула Кубо

Формула Кубо представляет собой уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины в зависимости от нестационарного возмущения. Названа в честь Рёго Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году.

С помощью формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивости систем электронов как отклик на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Общая формула Кубо

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом $H_0$ . Среднее значение физической величины, описываемое оператором $\hat{A}$, можно оценить как:

$⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{Z_0}\mathrm{Tr}[\widehat{{\rho }_0}\hat{A}]=\frac{1}{Z_0}\sum _n⟨n|\hat{A}|n⟩e^{-\beta E_n}$

$\widehat{{\rho }_0}=e^{-\beta {\hat{H}}_0}=\sum _n|n⟩⟨n|e^{-\beta E_n}$

куда $Z_0=\mathrm{Tr}[{\hat{\rho }}_0]$ — статистическая сумма. Предположим теперь, что в момент времени $t=t_0$ на систему начинает действовать внешнее возмущение. Это возмущение описывается дополнительной временной зависимостью гамильтониана: $\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+\hat{V}(t)\theta (t-t_0),$ где $\theta (t)$ — функция Хевисайда, которая равна 1 для положительных моментов времени и 0 в противном случае и $\hat{V}(t)$ — эрмитово и определено для всех t, таким образом, что для положительного $t-t_0$, $\hat{H}(t)$ обладает полным набор действительных собственных значений $E_n(t),$ но эти собственные значения могут изменяться со временем.

Однако теперь снова можно найти временную эволюцию матрицы плотности $\hat{\rho }(t)$ из правой части выражения для статистической суммы $Z(t)=\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)],$ и оценить математическое ожидание как$⟨\hat{A}⟩=\mathrm{Tr}[\rho (t)\hat{A}]/\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)].$

 Временная зависимость состояний $|n(t)⟩$ полностью определяется уравнением Шредингера $i{\partial }_t|n(t)⟩=\hat{H}(t)|n(t)⟩,$ что соответствует картине Шредингера. Но поскольку $\hat{V}(t)$ рассматривается как небольшое возмущение, то удобно использовать представление картины взаимодействия, $|\hat{n}(t)⟩,$ в низшем нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении даётся выражением $|n(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t}|\hat{n}(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t}\hat{U}(t,t_0)|\hat{n}(t_0)⟩,$ где по определению для всех t и $t_0$, $|\hat{n}(t_0)⟩=e^{i{\hat{H}}_0{t}_0}|n(t_0)⟩$

В линейном порядке в $\hat{V}(t)$, получим $\hat{U}(t,t_0)=1-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\hat{V}(t^{\prime })$ . Таким образом, среднее от $\hat{A}(t)$ с точностью до линейного порядка по возмущению равно

$\begin{array}{ccc}⟨\hat{A}(t)⟩& =& ⟨\hat{A}{⟩}_0-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\frac{1}{Z_0}\sum _n{e}^{-\beta E_n}⟨n(t_0)|\hat{A}(t)\hat{V}(t^{\prime })-\hat{V}(t^{\prime })\hat{A}(t)|n(t_0)⟩\\ & =& ⟨\hat{A}{⟩}_0-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }⟨[\hat{A}(t),\hat{V}(t^{\prime })]{⟩}_0\end{array}$

Угловые скобки $⟨{⟩}_0$ означают равновесное среднее по невозмущённому гамильтониану $H_0.$ Следовательно, для первого порядка теории возмущения, среднее включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно и происходит в теории возмущений. Это устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для моментов времени $t>t_0$.

Вышеприведенное выражение верно для любых операторов. (см. также Вторичное квантование).