Формула трубки

Кривая и её трубчатая окрестность.

Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма $r$-окрестности подмногообразия как многочлен от $r$. Предложена Германом Вейлем.

Формулировка

Пусть $M$ замкнутое $m$-мерное подмногообразие в $n$-мерном евклидовом пространстве, соответственно $k=n-m$ есть коразмерность $M$.

Обозначим через $M_r$ $r$-окрестность $M$. Тогда для всех достаточно малых положительных значений $r$ выполняется равенство

$V(M_r)={\omega }_k\cdot r^k\cdot \sum _{m\ge 2\cdot i\ge 0}{V}_i(M)\cdot \frac{r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)},$

где $V(M_r)$ — объём $M_r$, ${\omega }_k$ — объём единичного шара в $k$-мерном евклидовом пространстве. и

$V_i(M)=\underset{M}{\int }{p}_i(\mathrm{R}\mathrm{m})$

для некоторого однородного многочлена $p_i$ степени $i$; здесь $\mathrm{R}\mathrm{m}$ обозначает тензор кривизны.

Выражение $p_i(\mathrm{R}\mathrm{m})$ — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропоциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем $(2\cdot i)$-мерным подпространствам касательного пространства.

Замечания

• Младший ненулевой коэффициент $V_0(M)$ есть $m$-мерный объём $M$.
• Если размерность $M$ чётна, $m=2\cdot k$, то

  $V_k=\chi (M),$

где $\chi (M),$ — эйлерова характеристика $M$.

Следствия

• Объём $r$-окрестности ${\gamma }_r$ простой замкнутой гладкой кривой $\gamma$ в $n$-мерном евклидовом пространстве при малых $r$ выражается формулаой

  $V({\gamma }_r)=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

где $L(\gamma )$ обозначает длину $\gamma$.

• Для гладких замкнутой поверхности $M$ в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство

  $V(M_r)=S(M)\cdot r+\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^3.$

• Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны, то объёмы их $r$-окрестностей совпадают для всех малых положительных $r$.

Вариации и обобщения

• Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней $r$-окрестности $M_r^{+}$, она также является многочленом от $r$, но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид

  $V(M_r^{+})=S(M)\cdot r+\left[\underset{M}{\int }H\right]\cdot r^2+\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^3,$

где $H$ обозначает среднюю кривизну.

См. также

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне
• Смешанный объём
• Трубчатая окрестность

Литература

• Грей А. Трубки. Формула Вейля и ее обобщения, Мир, 1993.
• Шаблон:Статья
• Simon Willerton, Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula