Функции Бриллюэна и Ланжевена

Функции Бриллюэна и Ланжевена представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике.

Функция Бриллюэна Шаблон:Якорь

Функция Бриллюэна - это специальная функция, которая определяется следующим уравнением:

$B_J(x)=\frac{2J+1}{2J}\coth \left(\frac{2J+1}{2J}x\right)-\frac{1}{2J}\coth \left(\frac{1}{2J}x\right)$

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где х является действительной переменной и J является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, достигая +1, при 

$x\to +\mathrm{\infty }$

и -1 при 

$x\to -\mathrm{\infty }$

.

Функция чаще всего применяется при расчете намагниченности идеального парамагнетика. В частности, она описывает зависимость намагниченности $M$ от приложенного магнитного поля $B$ и полного углового момента J состоящего из микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность дается формулой:

$M=Ng{\mu }_{B}J\cdot B_J(x)$

где

• $N$ - число атомов в единице объема,
• $g$ - g-фактор,
• ${\mu }_B$ - магнетон Бора,
• $x$ - отношение Зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии $k_{B}T$:

$x=\frac{g{\mu }_{B}JB}{k_{B}T}$

$k_B$ -  постоянная Больцмана и $T$ температура.

Отметим, что в системе единиц Си индукция магнитного поля $B$ измеряется в теслах, $B={\mu }_{0}H$, где $H$ напряженность магнитного поля в А/м и ${\mu }_0$ - проницаемость вакуума.

Функция Ланжевена Шаблон:Якорь

В классическом пределе, моменты могут непрерывно выстроиться по полю и 

$J$

может принимать все значения (

$J\to \mathrm{\infty }$

). В этом пределе функция Бриллюэна превращается в функцию Ланжевена, названную в честь Поля Ланжевена:

$L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$

Для малых значений Шаблон:Math, функция Ланжевена может быть разложена в ряд Тейлора:

$L(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\dots$

Альтернативная аппроксимация может быть получена из непрерывной дроби Ламберта разложения Шаблон:Math:

$L(x)=\frac{x}{3+\frac{x^2}{5+\frac{x^2}{7+\frac{x^2}{9+\dots }}}}$

При достаточно малых Шаблон:Math, обе аппроксимации численно лучше, чем прямая оценка аналитического выражения, поскольку последняя страдает от потери значимости.

Высокотемпературный предел Шаблон:Якорь

При $x\ll 1$ т. е. когда ${\mu }_{B}B/k_{B}T$ мало, намагниченность можно аппроксимировать законом Кюри:

$M=C\cdot \frac{B}{T}$

где $C=\frac{N{g}^{2}J(J+1){\mu }_B^2}{3k_B}$  - константа. Можно отметить, что $g\sqrt{J(J+1)}$ - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высоких полейШаблон:Якорь

При $x\to \mathrm{\infty }$ функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается и магнитные моменты полностью выстраиваются по направлению приложенного поля:

$M=Ng{\mu }_{B}J$