Функция неопределённости

Функция неопределённости (ФН) — двумерная функция $\chi (\tau ,f)$, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на $\tau$ и по частоте на $\mathrm{\Delta }f$ относительно сигнала $s\left(t\right)$, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределённости представляет собой корреляционный интеграл Шаблон:EF где * — операция комплексного сопряжения; $i$ — мнимая единица.

Вывод выражения

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым $f\left(t\right)$ и ожидаемым (оптимальным для фильтра) $s\left(t\right)$ сигналом

$y\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(\tau \right)s^{\ast }(\tau -t)d\tau$.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг $\mathrm{\Delta }f$ обусловленный скоростью цели и задаётся выражением $f\left(t\right)=s\left(t\right)e^{i2\pi \mathrm{\Delta }ft}$. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

$y\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s\left(\tau \right)e^{i2\pi \mathrm{\Delta }f\tau }{s}^{\ast }(\tau -t)d\tau$.

Осуществив замену переменных $t=\tau$ и $\tau =t$ окончательно можно записать

$\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(t)s^{\ast }(t-\tau )e^{i2\pi \mathrm{\Delta }ft}dt$.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения Шаблон:Eqref, либо его квадрат.

Свойства функции неопределённости

• Максимальное значение ФН находится в точке начала координат $(\tau =0,\mathrm{\Delta }f=0)$ и количественно равно $E$

$\left|\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)\right|\le \left|\chi (0,0)\right|=E$,

где $E=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|s\left(t\right)\right|}^{2}dt$ — энергия сигнала.

• По модулю ФН симметрична относительно начала координат

$\left|\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)\right|=\left|\chi (-\tau ,-\mathrm{\Delta }f)\right|$.

• Объём квадрата модуля ФН является постоянным и равен $E^2$.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)\right|}^{2}d\tau df=E^2$.

• Если $S(t)$ является преобразованием Фурье от сигнала $s(t)$, то согласно теореме Парсеваля функция неопределенности может быть представлена в виде

$\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{S}^{\ast }(f)S(f-\mathrm{\Delta }f)e^{-i2\pi f\tau }df$.

Функции неопределённости некоторых сигналов

Идеальная ФН

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

$\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)=\delta (\tau )\delta (\mathrm{\Delta }f)$,

имеющую бесконечное значение в точке $(0,0)$ и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Прямоугольный импульс

Модуль ФН прямоугольного импульса

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью $T$, заданного как

$s(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{T}\right)$,

где $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{(}\mathrm{)}$ — прямоугольная функция, на основании выражения Шаблон:Eqref имеет вид

$|\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)|=\left|(1-\frac{\left|\tau \right|}{T})\frac{\sin \left(\pi T\mathrm{\Delta }f(1-\left|\tau \right|/T)\right)}{\pi T\mathrm{\Delta }f(1-\left|\tau \right|/T)}\right|$.

Сечение ФН по оси времени при $\mathrm{\Delta }f=0$ определяется выражением

$|\chi (\tau ,0)|=\{\begin{array}{cc}1-\frac{\left|\tau \right|}{T},& |\tau |\le T\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

Сечение ФН по оси частот при $\tau =0$ определяется выражением

$|\chi (0,\mathrm{\Delta }f)|=\left|\frac{\sin (\pi T\mathrm{\Delta }f)}{\pi T\mathrm{\Delta }f}\right|$.

ЛЧМ импульс

Модуль ФН ЛЧМ импульса

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

$s(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{T}\right)e^{i\pi \mu t^2}$,

где $\mu =\pm B/T$ — крутизна ЛЧМ; $B$ — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

$|\chi (\tau ,\mathrm{\Delta }f)|=\left|(1-\frac{\left|\tau \right|}{T})\frac{\sin (\pi T(\mathrm{\Delta }f\pm B(\tau /T))(1-\left|\tau \right|/T))}{\pi T(\mathrm{\Delta }f\pm B(\tau /T))(1-\left|\tau \right|/T)}\right|$,

при $\left|\tau \right|\le T$.

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга