Характеристика областей голоморфности

Характери́стика областе́й голомо́рфности (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) - условия, характеризующие области голоморфности в комплексном пространствеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Содержание этой статьи составляет изучение следующей теоремыШаблон:Sfn.

Теорема. Следующие пять условий эквивалентныШаблон:SfnШаблон:Sfn:

(I) $D$ — область голоморфности;

(II) $D$ голоморфно выпукла;

(III) $D$ в любой граничной точке голоморфно не расширяема;

(IV) $D$ выпукла в смысле Леви;

(V) $D$ псевдовыпукла.

Область голоморфности

Область голоморфности — комплексная область U такая, что для любого участка её границы в ней найдётся голоморфная функция, непродолжаемая через него

Это стандартное определение области голоморфностиШаблон:Sfn.

Область голоморфности (Шаблон:Lang-enШаблон:SfnШаблон:Sfn, от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образШаблон:Sfn) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область комплексного пространства такая, что существует функция, голоморфная в этой области, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Другими словами, область голоморфности — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой областиШаблон:Sfn, другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участокШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синоним: область регулярностиШаблон:Sfn.

Область голоморфности функции — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы областиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Область голоморфности — область голоморфности какой-нибудь функцииШаблон:Sfn, то есть максимальная область существования какой-нибудь функции $f(z)$Шаблон:Sfn.

Синонимы: область существования функцииШаблон:SfnШаблон:Sfn; естественная область определения функцииШаблон:Sfn; область регулярности функцииШаблон:Sfn.

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Но в комплексном пространстве ${ℂ}^n$, $n⩾2$, ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в ${ℂ}^n$ не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образомШаблон:Sfn. В ${ℂ}^n$, $n⩾2$, не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не логарифмически выпуклая область РейнхартаШаблон:Sfn. Также не голоморфна область с полостью, то есть вид разности множеств

$D\setminus K\subset {ℂ}^n$,

где ${ℂ}^n\supset D\supset K$ — компактное множествоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к многолистной областиШаблон:Sfn.

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфностиШаблон:Sfn

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H