Циссоида

Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂ (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P₂ от P₁). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP₁ + OP₂. Это определение эквивалентно приведённому, если C₁ заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P₁ и P₂. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Строфоида есть частный случай дефективной гиперболыШаблон:Sfn.

Уравнения

Если C₁ и C₂ заданы в полярных координатах функциями $r=f_1(\theta )$ и $r=f_2(\theta )$ соответственно, то уравнение $r=f_2(\theta )-f_1(\theta )$ задаёт циссоиду C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C₁ можно задать как

$r=-f_1(\theta +\pi ),r=-f_1(\theta -\pi ),r=f_1(\theta +2\pi ),r=f_1(\theta -2\pi ),\dots$.

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

$r=f_2(\theta )-f_1(\theta ),r=f_2(\theta )+f_1(\theta +\pi ),r=f_2(\theta )+f_1(\theta -\pi ),$

$r=f_2(\theta )-f_1(\theta +2\pi ),r=f_2(\theta )-f_1(\theta -2\pi ),\dots$.

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C₁ и C₂ — это эллипсы

$r=\frac{1}{2-\cos \theta }$.

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

$r=\frac{1}{2-\cos \theta }-\frac{1}{2-\cos \theta }=0$,

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

$r=\frac{-1}{2+\cos \theta }$,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:$r=\frac{1}{2-\cos \theta }+\frac{1}{2+\cos \theta }$, и эта кривая имеет форму овала.

Если C₁ и C₂ заданы параметрическими уравнениями

$x=f_1(p),y=px$

и

$x=f_2(p),y=px$,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:$x=f_2(p)-f_1(p),y=px$.

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

$r=\frac{a_1}{\cos (\theta -{\alpha }_1)}$

и

$r=\frac{a_2}{\cos (\theta -{\alpha }_2)}$.

Мы можем повернуть на угол $({\alpha }_1-{\alpha }_2)/2$ так, что можем предположить, что ${\alpha }_1=\alpha ,{\alpha }_2=-\alpha$. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

$r=\frac{a_2}{\cos (\theta +\alpha )}-\frac{a_1}{\cos (\theta -\alpha )}$

$=\frac{a_2\cos (\theta -\alpha )-a_1\cos (\theta +\alpha )}{\cos (\theta +\alpha )\cos (\theta -\alpha )}$

$=\frac{(a_2\cos \alpha -a_1\cos \alpha )\cos \theta -(a_2\sin \alpha +a_1\sin \alpha )\sin \theta }{{\cos }^2\alpha {\cos }^2\theta -{\sin }^2\alpha {\sin }^2\theta }$.

Обозначив константные выражения, получим

$r=\frac{b\cos \theta +c\sin \theta }{{\cos }^2\theta -m^2{\sin }^2\theta }$

что в декартовых координатах превращается в

$x^2-m^2{y}^2=bx+cy$.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени Шаблон:Не переведено 5) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

$2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)$

является циссоидой окружности $(x+a{)}^2+y^2=a^2$ и прямой $x=-\frac{a}{2}$ относительно начала координат.

• Правая строфоида

$y^2(a+x)=x^2(a-x)$

является циссоидой окружности $(x+a{)}^2+y^2=a^2$ и прямой $x=-a$ относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

$x(x^2+y^2)+2a{y}^2=0$

является циссоидой окружности $(x+a{)}^2+y^2=a^2$ и прямой $x=-2a$ относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности $(x+a{)}^2+y^2=a^2$ и прямой $x=ka$, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

$x^3+y^3=3axy$

является циссоидой эллипса $x^2-xy+y^2=-a(x+y)$ и прямой $x+y=-a$ относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

$x=-\frac{a}{1+p},y=px$,

а эллипс можно задать как

$x=-\frac{a(1+p)}{1-p+p^2},y=px$.

Так что циссоида задаётся уравнением

$x=-\frac{a}{1+p}+\frac{a(1+p)}{1-p+p^2}=\frac{3ap}{1+p^3},y=px$

и это уравнение является параметрической форой листа.

См. также

• Конхоида
• Строфоида
• Циссоида Диокла

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:H
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• C. A. Nelson «Note on rational plane cubics» Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76.
• 2D Curves
• «Courbe Cissoïdale» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
• «Cissoïdales de Zahradnik» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)