Циссоида Диокла

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$, а ось ординат по $OY$, на отрезке $OA=2a$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$ проводится касательная $UV$. Из точки $O$ проводится произвольная прямая $OF$, которая пересекает окружность в точке $E$ и касательную в точке $F$. От точки $F$, в направлении точки $O$, откладывается отрезок $FM$, длина которого равна длине отрезка $OE$. При вращении линии $OF$ вокруг точки $O$, точка $M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Шаблон:Нет ссылок в разделе Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}.(1)$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho =\frac{2a{\sin }^2\phi }{\cos \phi }.$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho =\frac{2a(1-{\cos }^2\phi )}{\cos \phi }=$

$=2a(\frac{1}{\cos \phi }-\cos \phi )=$

$=2a(\sec \phi -\cos \phi ).$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x=\frac{2a{u}^2}{1+u^2},$ $y=\frac{2a{u}^3}{1+u^2},$

где

$u=\mathrm{t}\mathrm{g}\phi$.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$; ось симметрии — диаметр $BD$. Из точки $P$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$. Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ($DOB$) замкнуть дугой окружности $EAD$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — Шаблон:Lang-grc2 («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$ и $D$, которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$, уравнение которой: $x=2a$, где $a$ — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

$S_1=3\pi a^2.$

Объём тела вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении ветви $OL$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

$V_1=\pi \underset{0}{\overset{2a}{\int }}\frac{x^3}{2a-x}dx=$

$=\pi \underset{0}{\overset{2a}{\int }}(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x})dx=$

$={-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln (2a-x))|}_0^{2a}.$

Если $x\to 2a$, то $\ln (2a-x)\to -\mathrm{\infty }$, то есть $V_1\to \mathrm{\infty }$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Шаблон:Кривые Шаблон:Нет ссылок